第4章：着色基础

在前面的章节中，我们学习了如何将三维几何对象投影到二维屏幕并进行光栅化。然而，仅有几何形状是不够的——我们需要为这些形状赋予真实的外观。本章将介绍着色的基础知识，包括光照模型、着色频率以及纹理映射的基本概念。这些内容构成了计算机图形学中创建逼真图像的核心基础。

4.1 光照与基本着色模型

4.1.1 光的物理基础

光是电磁波，在图形学中我们主要关注可见光谱（波长约380-780纳米）。光与物体表面的相互作用决定了我们所看到的颜色和明暗。

光的基本属性：

• 强度（Intensity）：光的能量大小，通常用辐射度量学中的辐照度（Irradiance）或辐亮度（Radiance）表示
• 方向（Direction）：光传播的方向，在局部光照模型中假设为直线传播
• 颜色（Color）：由光谱分布决定，实践中常用RGB三通道近似
• 偏振（Polarization）：电磁波的振动方向，在高级渲染中用于表现某些材质特性

辐射度量学基础： 理解光照计算需要掌握几个关键的辐射度量学概念：

1. 辐射通量（Radiant Flux）：$\Phi$，单位时间内通过表面的总能量，单位：瓦特(W) $$\Phi = \frac{dQ}{dt}$$

2. 辐照度（Irradiance）：$E$，单位面积接收的辐射通量，单位：$W/m^2$ $$E = \frac{d\Phi}{dA}$$

3. 辐射强度（Radiant Intensity）：$I$，点光源在特定方向上的功率，单位：$W/sr$ $$I = \frac{d\Phi}{d\omega}$$

4. 辐亮度（Radiance）：$L$，最重要的量，描述光线的"亮度"，单位：$W/(m^2 \cdot sr)$ $$L = \frac{d^2\Phi}{dA \cos\theta \, d\omega}$$ 光与表面的相互作用： 当光线到达物体表面时，会发生以下现象：

5. 反射（Reflection）：光线从表面弹回，分为镜面反射和漫反射 - 镜面反射：遵循反射定律，入射角等于反射角 - 漫反射：光线向各个方向均匀散射 - 光泽反射：介于两者之间，有方向性但不完全镜面

6. 折射（Refraction）：光线穿透表面进入物体内部，遵循斯涅尔定律 $$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$ 其中$n_1, n_2$为介质的折射率

7. 吸收（Absorption）：部分光能被材质吸收转化为热能 - 遵循比尔-朗伯定律：$I(x) = I_0 e^{-\sigma_a x}$ - $\sigma_a$为吸收系数，$x$为传播距离

8. 散射（Scattering）：光线在介质内部发生多次反射和折射 - 瑞利散射：粒子尺寸远小于波长（天空为蓝色的原因） - 米氏散射：粒子尺寸与波长相当（云和雾的外观）

菲涅尔效应（Fresnel Effect）： 反射率随入射角变化的现象，由菲涅尔方程描述：

对于非偏振光的反射率： $$F(\theta) = \frac{1}{2}(F_\parallel^2 + F_\perp^2)$$ 其中： $$F_\parallel = \frac{n_2 \cos\theta_i - n_1 \cos\theta_t}{n_2 \cos\theta_i + n_1 \cos\theta_t}$$ $$F_\perp = \frac{n_1 \cos\theta_i - n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t}$$ Schlick近似（常用于实时渲染）： $$F(\theta) = F_0 + (1 - F_0)(1 - \cos\theta)^5$$ 其中$F_0$是垂直入射时的反射率。

在基本着色模型中，我们主要关注反射现象，将其简化为漫反射和镜面反射两个分量。

4.1.2 Lambertian反射模型

最简单的反射模型是Lambertian（朗伯）反射，描述了完全漫反射表面的行为。这种表面将入射光均匀地散射到各个方向，看起来同样明亮，与观察角度无关。

朗伯余弦定律： $$I = I_0 \cos\theta = I_0 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})$$ 其中：

• $I$ 是反射光强度
• $I_0$ 是入射光强度
• $\theta$ 是表面法线与光线方向的夹角
• $\mathbf{n}$ 是归一化的表面法线（指向表面外部）
• $\mathbf{l}$ 是归一化的光线方向（从表面指向光源）

物理解释： 余弦项$\cos\theta$反映了有效照射面积的变化。当光线垂直入射时（$\theta = 0$），单位面积接收最多能量；当光线平行于表面时（$\theta = 90°$），没有能量到达表面。

从微观角度理解：

• 粗糙表面由无数微小面元组成，朝向随机分布
• 每个微面元都是完美镜面，但整体表现为漫反射
• 余弦项反映了朝向光源的微面元比例

BRDF形式： Lambertian反射的双向反射分布函数（BRDF）为常数： $$f_r = \frac{\rho}{\pi}$$ 其中$\rho$是反照率（albedo），表示表面反射的能量比例。除以$\pi$是为了满足能量守恒： $$\int_{\Omega} f_r \cos\theta \, d\omega = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{\rho}{\pi} \cos\theta \sin\theta \, d\theta \, d\phi = \rho$$ 漫反射的渲染方程： 对于单个光源，出射辐亮度为： $$L_o(\mathbf{x}, \omega_o) = f_r L_i(\mathbf{x}, \omega_i) (\mathbf{n} \cdot \omega_i)$$ 展开后： $$L_o = \frac{\rho}{\pi} L_i \max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{l})$$ 实际应用考虑：

• 需要clamp负值：$\max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{l})$，避免背面照明
• 双面材质需要特殊处理：$|\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}|$
• 可以乘以材质的漫反射系数$k_d$和颜色$\mathbf{c}_d$得到最终颜色

高级扩展：

1. Oren-Nayar模型：考虑表面粗糙度的改进模型 $$f_r = \frac{\rho}{\pi}(A + B \max(0, \cos(\phi_i - \phi_o)) \sin\alpha \tan\beta)$$ 其中$A = 1 - 0.5\frac{\sigma^2}{\sigma^2 + 0.33}$，$B = 0.45\frac{\sigma^2}{\sigma^2 + 0.09}$，$\sigma$是表面粗糙度

2. 次表面散射（Subsurface Scattering）： - 光线进入材质内部散射后射出 - 常见于皮肤、蜡、大理石等半透明材质 - 需要考虑光线入射点和出射点的距离

3. 预积分皮肤着色：使用查找表（LUT）存储不同角度的散射结果

4.1.3 Phong光照模型

Phong光照模型是计算机图形学中最经典的局部光照模型，由Bui Tuong Phong于1975年提出。它通过三个分量的叠加来近似真实世界的光照效果： $$I = I_a + I_d + I_s$$

1. 环境光（Ambient）： $$I_a = k_a I_{a,light}$$ 环境光模拟间接光照，是对全局光照的粗糙近似。它确保场景中没有完全黑暗的区域，提供基础亮度。

物理意义：

• 真实世界中，光线会在表面间多次反弹
• 环境光是这种复杂相互作用的简化
• 现代渲染中常用环境贴图或球谐函数代替

2. 漫反射（Diffuse）： $$I_d = k_d I_{light} \max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{l})$$ 基于Lambertian反射模型，表示粗糙表面的反射特性。这是物体的主要颜色来源。

3. 镜面反射（Specular）： $$I_s = k_s I_{light} \max(0, \mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^p$$ 模拟光滑表面的高光效果。反射向量$\mathbf{r}$通过镜面反射定律计算： $$\mathbf{r} = 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})\mathbf{n} - \mathbf{l}$$ 推导反射向量公式： 设入射向量为$-\mathbf{l}$，法线为$\mathbf{n}$：

4. 将$-\mathbf{l}$分解为平行和垂直于$\mathbf{n}$的分量

5. 平行分量：$(-\mathbf{l} \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$
6. 垂直分量：$-\mathbf{l} - (-\mathbf{l} \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$
7. 反射时，平行分量反向，垂直分量不变
8. $\mathbf{r} = -(-\mathbf{l} \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} + [-\mathbf{l} - (-\mathbf{l} \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}]$
9. 简化得：$\mathbf{r} = 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})\mathbf{n} - \mathbf{l}$

参数说明：

• $k_a, k_d, k_s$：材质系数，满足能量守恒时通常$k_a + k_d + k_s \leq 1$
• $p$：镜面反射指数（Shininess），典型值：
• 粗糙表面：1-10
• 塑料：10-100
• 金属：100-1000
• 镜面：1000+
• $\mathbf{v}$：归一化的观察方向（从表面指向相机）

镜面反射的微面元理论解释：

• 表面由许多微小镜面组成
• 只有法线恰好在$\mathbf{l}$和$\mathbf{v}$中间的微面元才能将光反射到观察者
• 指数$p$控制微面元法线分布的集中程度
• 高$p$值表示分布集中，产生小而亮的高光

RGB颜色扩展： 实际应用中，每个颜色通道独立计算： $$\mathbf{I}_{RGB} = k_a \mathbf{c}_a \odot \mathbf{I}_{a,light} + k_d \mathbf{c}_d \odot \mathbf{I}_{light} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}) + k_s \mathbf{c}_s \odot \mathbf{I}_{light} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^p$$ 其中$\odot$表示逐元素乘法，$\mathbf{c}_a, \mathbf{c}_d, \mathbf{c}_s$分别是环境光、漫反射和镜面反射颜色。

Phong模型的局限性：

1. 非物理准确： - 不遵循能量守恒 - 镜面反射项不满足互易性（reciprocity） - 无法准确模拟粗糙表面的镜面反射

2. 掠射角问题： - 在掠射角下，镜面反射强度下降过快 - 真实材质在掠射角下反射率增加（菲涅尔效应）

3. 材质表现力有限： - 无法表现菲涅尔效应 - 对各向异性材质（如拉丝金属）无能为力 - 不支持分层材质（如汽车漆）

4. 高光形状单一： - 只能产生圆形高光 - 无法表现拉长或其他形状的高光

4.1.4 Blinn-Phong模型

Blinn-Phong是Phong模型的改进版本，由Jim Blinn于1977年提出。核心改进是使用半角向量（halfway vector）代替反射向量： $$\mathbf{h} = \frac{\mathbf{l} + \mathbf{v}}{||\mathbf{l} + \mathbf{v}||_2}$$ 镜面反射项变为： $$I_s = k_s I_{light} \max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^p$$ 物理解释： 半角向量$\mathbf{h}$代表了微表面法线的统计分布。当$\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}$较大时，意味着有更多的微表面朝向能够将光线反射到观察者。

微面元理论深入：

• 完美镜面反射发生在微面元法线等于$\mathbf{h}$时
• $(\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^p$近似微面元法线分布函数
• 这是后来Cook-Torrance BRDF的前身

数学关系推导： 设$\theta$为$\mathbf{n}$与$\mathbf{h}$的夹角，$\alpha$为$\mathbf{r}$与$\mathbf{v}$的夹角： $$\cos\alpha = \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} = 2\cos^2\theta - 1$$ 因此： $$(\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^{p_{Phong}} = (2\cos^2\theta - 1)^{p_{Phong}} \approx (\cos\theta)^{4p_{Phong}} = (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^{4p_{Phong}}$$ 这解释了为什么$p_{Blinn} \approx 4p_{Phong}$。

优点：

• 计算更高效（避免计算反射向量）
• 在某些情况下更符合物理规律
• 处理掠射角时表现更好
• 当光源和视点都在无穷远时，$\mathbf{h}$为常量

实现细节：

• 需要检查$\mathbf{l} + \mathbf{v}$是否为零向量（光源在视点后方）
• 半角向量的计算可以在顶点着色器中完成并插值
• 现代实时渲染几乎都使用Blinn-Phong而非原始Phong

改进的归一化Blinn-Phong： 为了更好的能量守恒，可以使用归一化版本： $$I_s = \frac{p + 8}{8\pi} k_s I_{light} \max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^p$$ 归一化因子确保镜面反射瓣的积分为$k_s$。

各向异性扩展： 对于各向异性材质，可以将标量指数$p$扩展为两个方向的指数： $$I_s = k_s I_{light} \max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^{p_u \cos^2\phi + p_v \sin^2\phi}$$ 其中$\phi$是半角向量在切平面上的投影与主切线方向的夹角。

4.1.5 多光源处理

实际场景中通常有多个光源，总光照是所有光源贡献的叠加： $$I_{total} = I_a + \sum_{i=1}^{n} (I_{d,i} + I_{s,i})$$ 注意环境光通常只计算一次，而非每个光源都有独立的环境光分量。

光源类型：

1. 点光源（Point Light） 从一点向所有方向发出光线，强度随距离衰减： $$I(d) = \frac{I_0}{d^2}$$ 物理正确的衰减：

• 遵循平方反比定律：能量在球面上均匀分布
• 球面面积$A = 4\pi d^2$，故单位面积能量$\propto 1/d^2$

实践中常用更灵活的衰减公式避免除零和过度衰减： $$f_{att} = \frac{1}{k_c + k_l d + k_q d^2}$$ 其中$k_c$（常数项）、$k_l$（线性项）、$k_q$（二次项）是衰减系数。

改进的衰减模型： $$f_{att} = \frac{1}{\max(d, r_{min})^2}$$ 其中$r_{min}$是光源的物理半径，避免近距离的无限亮度。

2. 方向光（Directional Light） 模拟无限远的光源（如太阳）：

• 所有位置的光线方向相同：$\mathbf{l} = \text{constant}$
• 无衰减：$f_{att} = 1$
• 适合室外场景的主光源
• 可产生平行阴影

级联阴影贴图（Cascaded Shadow Maps）：

• 将视锥体分成多个层级
• 每层使用不同分辨率的阴影贴图
• 近处高分辨率，远处低分辨率

3. 聚光灯（Spot Light） 具有位置、方向和照射角度的光源： $$I = I_0 \cdot f_{spot}(\theta) \cdot f_{att}(d)$$ 聚光衰减函数： $$f_{spot}(\theta) = \begin{cases} (\cos\theta)^{f} & \text{if } \cos\theta > \cos\theta_{outer} \ \text{smooth}(\theta) & \text{if } \cos\theta_{outer} \geq \cos\theta > \cos\theta_{inner} \ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ 平滑过渡函数： 使用Hermite插值实现软边缘： $$\text{smooth}(\theta) = \text{smoothstep}(\cos\theta_{outer}, \cos\theta_{inner}, \cos\theta)$$ $$\text{smoothstep}(a, b, x) = t^2(3 - 2t), \quad t = \frac{x - a}{b - a}$$ 投影纹理聚光灯：

• 使用纹理调制光强分布
• 可实现复杂图案投影（如舞台灯光）
• 纹理坐标从光源空间投影矩阵计算

4. 面光源（Area Light） 真实世界的光源都有一定面积，但精确计算需要积分。

解析解（仅限简单几何）： 矩形面光源对点的辐照度： $$E = \int_A \frac{L \cos\theta_i \cos\theta_o}{r^2} dA$$ 对于均匀发光的矩形，存在闭式解（使用边界积分）。

近似方法：

1. 多点近似： - 将面光源离散为$N$个点光源 - 权重根据面积元分配 - 计算复杂度：$O(N)$

2. 线性变换球面光源（LTCs）： - 将复杂BRDF变换为余弦分布 - 使用预计算的查找表 - 实时性能优秀

3. 球谐函数近似： - 将光源投影到SH基函数 - 适合低频光照 - 系数预计算

4. 环境光照（Environment Lighting） 使用环境贴图表示来自所有方向的光照：

重要性采样：

• 根据环境贴图亮度分布采样
• 减少噪声，提高收敛速度
• 预计算CDF用于快速采样

预滤波环境贴图：

• 不同粗糙度级别的预滤波
• 存储在mipmap链中
• 实时查询，无需运行时积分

性能优化策略：

1. 光源剔除： - 视锥剔除：丢弃视野外光源 - 距离剔除：忽略超过最大影响距离的光源 - 遮挡剔除：使用层次Z缓冲（Hi-Z）

2. 延迟着色（Deferred Shading）： - 几何复杂度与光源数量解耦 - G-Buffer存储几何属性 - 光照以屏幕空间处理

3. 光源分级（Light Hierarchy）： - 主光源：完整计算 - 次要光源：简化BRDF - 环境光源：预积分近似

4. 光照烘焙（Light Baking）： - 静态光源预计算 - 存储在光照贴图或探针 - 运行时仅处理动态光源

5. Tiled/Clustered Shading： - 将屏幕/视锥分块 - 每块维护光源列表 - 减少光源遍历开销

4.2 着色频率与图形管线

4.2.1 着色频率的概念

着色频率（Shading Frequency）决定了在渲染管线的哪个阶段计算光照。不同的着色频率在质量和性能之间做出不同的权衡。

1. 平面着色（Flat Shading） - 每个三角形使用单一法线（通常为面法线） - 计算一次光照，整个三角形使用相同颜色 - 优点：计算快速，适合低多边形风格或远距离LOD - 缺点：产生明显的多边形边界（马赫带） - 应用：CAD软件、低多边形艺术风格

2. Gouraud着色（顶点着色） Henri Gouraud于1971年提出：

• 在顶点处计算光照（使用顶点法线）
• 三角形内部通过插值颜色得到最终结果
• 顶点法线通常是相邻面法线的平均
• 优点：比平面着色平滑，计算效率较高
• 缺点：
• 高光可能失真（顶点没有高光时整个三角形都没有）
• 不能正确处理非线性光照效果

3. Phong着色（像素着色/片段着色） Bui Tuong Phong同时提出：

• 插值法线而非颜色
• 在每个像素处计算光照
• 优点：
• 高质量的光照效果
• 正确处理高光和非线性效果
• 支持逐像素的法线贴图
• 缺点：计算量大（现代GPU已解决）

选择标准：

• 低多边形模型 + 高质量着色 = 错误的选择
• 高多边形模型 + Gouraud着色 = 可能足够
• 现代实践：几乎总是使用Phong着色（片段着色器）

4.2.2 法线插值

在Phong着色中，需要插值法线而非颜色。这是实现高质量光照的关键。

重心坐标插值： $$\mathbf{n} = \alpha \mathbf{n}_1 + \beta \mathbf{n}_2 + \gamma \mathbf{n}_3$$ 为什么需要重新归一化： 线性插值不保持向量长度。考虑两个相互垂直的单位法线$\mathbf{n}_1 = (1,0,0)$和$\mathbf{n}_2 = (0,1,0)$，它们的中点插值： $$\mathbf{n}_{mid} = 0.5\mathbf{n}_1 + 0.5\mathbf{n}_2 = (0.5, 0.5, 0) \Rightarrow ||\mathbf{n}_{mid}|| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$$ 因此必须重新归一化： $$\mathbf{n}_{normalized} = \frac{\mathbf{n}}{||\mathbf{n}||_2}$$ 法线插值的几何意义：

• 线性插值在切平面上进行
• 归一化将结果投影回单位球面
• 结果是球面上的最短路径（大圆弧）的近似

优化技巧：

1. 快速归一化近似： $$\mathbf{n}_{approx} \approx \mathbf{n} \cdot (1.5 - 0.5 \cdot \mathbf{n} \cdot \mathbf{n})$$ 基于牛顿-拉夫逊迭代，当$||\mathbf{n}||$接近1时非常准确

2. 四元数插值： 对于大角度旋转，可以使用四元数表示法线方向，使用SLERP插值

4.2.3 透视校正插值

在透视投影下，屏幕空间的线性插值不等于3D空间的线性插值。这是因为透视投影是非线性变换。

问题的根源： 考虑一条空间3D线段，其端点在不同深度。透视投影后：

• 3D空间的中点不映射到屏幕空间的中点
• 远处的部分被压缩，近处的部分被拉伸

透视校正公式推导： 透视投影中，屏幕坐标与3D坐标的关系： $$x_s = \frac{x}{z}, \quad y_s = \frac{y}{z}$$ 对于属性$A$，正确的插值是： $$\frac{1}{z} = \alpha \frac{1}{z_1} + \beta \frac{1}{z_2} + \gamma \frac{1}{z_3}$$

$$A = \frac{\alpha \frac{A_1}{z_1} + \beta \frac{A_2}{z_2} + \gamma \frac{A_3}{z_3}}{\alpha \frac{1}{z_1} + \beta \frac{1}{z_2} + \gamma \frac{1}{z_3}}$$ 实现细节：

1. 现代GPU自动处理透视校正
2. 需要存储$1/z$值（通常在深度缓冲中）
3. 所有顶点属性都需要透视校正： - 纹理坐标 - 法线向量 - 颜色值 - 任何自定义属性

没有透视校正的后果：

• 纹理扭曲（特别是地面、墙壁）
• 光照不正确
• 动画中出现“游泳”效果

4.2.4 现代图形管线中的着色

现代GPU使用可编程着色器，提供了灵活的渲染管线：

1. 顶点着色器（Vertex Shader） - 输入：顶点属性（位置、法线、UV等） - 主要任务： - 模型视图投影变换（MVP） - 顶点动画（骨骼、变形） - 计算世界空间坐标和法线 - 传递属性到片段着色器 - 输出：裁剪空间坐标和属性

2. 片段着色器（Fragment/Pixel Shader） - 输入：插值后的顶点属性 - 主要任务： - 光照计算（Phong/Blinn-Phong/PBR） - 纹理采样和混合 - 法线贴图应用 - 后期处理效果 - 输出：像素颜色（RGBA）

3. 延迟着色（Deferred Shading）

几何通道：

• 渲染到G-Buffer（几何缓冲）：
• 法线（世界空间或视图空间）
• 漫反射颜色
• 镜面反射参数
• 深度值
• 材质ID或其他属性

光照通道：

• 对每个光源：
• 渲染光源影响范围（光照体积）
• 从G-Buffer读取数据
• 计算光照贡献
• 累加到最终图像

优缺点对比：

| 特性 | 前向着色 | 延迟着色 |

4. Tile-Based Deferred Rendering (TBDR) - 将屏幕分成小块（tiles） - 每个块维护影响它的光源列表 - 结合了前向和延迟着色的优点 - 适合移动GPU架构

4.3 纹理映射基础

4.3.1 纹理映射的概念

纹理映射（Texture Mapping）是Edwin Catmull于1974年首次提出的技术，通过将2D图像映射到3D表面来增加视觉细节，而无需增加几何复杂度。

核心思想：

• 几何提供形状，纹理提供细节
• 将复杂的表面细节“贴”到简单几何体上
• 可以映射的不仅是颜色，还有法线、高度、粗糙度等

基本流程：

1. 参数化：为3D模型的每个顶点指定纹理坐标$(u,v)$
2. 插值：光栅化时插值纹理坐标（需要透视校正）
3. 采样：使用插值后的坐标从纹理图像中采样
4. 应用：将采样结果用于着色计算

纹理的数学定义： 纹理是一个函数$T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^n$，其中：

• 输入：2D纹理坐标$(u,v)$
• 输出：$n$维属性（颜色、法线、材质参数等）

纹理映射的优势：

1. 内存效率：2D图像比3D几何简单得多
2. 编辑方便：可以使用成熟的图像编辑工具
3. 重用性：同一纹理可应用于多个模型
4. LOD支持：Mipmap等技术提供自动细节层次

4.3.2 纹理坐标系统

UV坐标：

• $u$：横向坐标，通常范围$[0,1]$（也称为s坐标）
• $v$：纵向坐标，通常范围$[0,1]$（也称为t坐标）
• 原点位置：
• OpenGL：左下角$(0,0)$
• DirectX：左上角$(0,0)$

纹理坐标的获取方式：

1. 手动指定 - 美术师在建模软件中精确设置 - 适合复杂模型和艺术效果 - 需要专业技能和经验

2. 参数化映射

平面映射： $$u = \frac{x - x_{min}}{x_{max} - x_{min}}, \quad v = \frac{y - y_{min}}{y_{max} - y_{min}}$$ 球面映射： $$u = \frac{1}{2\pi}\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + 0.5$$ $$v = \frac{1}{\pi}\arccos\left(\frac{z}{r}\right)$$ 圆柱映射： $$u = \frac{1}{2\pi}\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + 0.5$$ $$v = \frac{z - z_{min}}{z_{max} - z_{min}}$$ 立方体映射： 根据法线方向选择六个面之一，然后进行平面映射

3. 自动UV展开 - 目标：最小化扭曲，最大化利用率 - 常用算法： - LSCM (Least Squares Conformal Maps) - ABF (Angle Based Flattening) - ARAP (As-Rigid-As-Possible) - 质量指标： - 角度扭曲：$\sum(\theta_{3D} - \theta_{2D})^2$ - 面积扭曲：$\sum(A_{3D} - A_{2D})^2$ - 拉伸率：$\max(\sigma_1/\sigma_2)$

UV岛（UV Islands）：

• 复杂模型通常被切割成多个UV岛
• 切缝位置的选择很重要：
• 隐藏在不显眼的地方
• 沿着自然边界（如衣服缝合线）
• 避免高曲率区域

4.3.3 纹理采样

纹理采样是根据纹理坐标从纹理图像中获取颜色值的过程。不同的采样方法在质量和性能之间做出不同权衡。

最近邻采样（Nearest Neighbor/Point Sampling）：

u_pixel = round(u * (width - 1))
v_pixel = round(v * (height - 1))
color = texture[u_pixel, v_pixel]

• 优点：快速，保持像素化效果，适合像素艺术风格
• 缺点：产生锯齿，放大时出现块状伪影
• 应用：Minecraft等像素风格游戏

双线性插值（Bilinear Interpolation）：

计算步骤：

1. 找到四个最近纹素： u_coord = u * (width - 1) v_coord = v * (height - 1) u0 = floor(u_coord), u1 = u0 + 1 v0 = floor(v_coord), v1 = v0 + 1

2. 计算分数部分： s = u_coord - u0 t = v_coord - v0

3. 双线性插值： $$c = (1-s)(1-t)c_{00} + s(1-t)c_{10} + (1-s)t c_{01} + st c_{11}$$ 可以分解为两次线性插值：

• 水平方向：$c_0 = (1-s)c_{00} + s c_{10}$，$c_1 = (1-s)c_{01} + s c_{11}$
• 垂直方向：$c = (1-t)c_0 + t c_1$

双三次插值（Bicubic Interpolation）： 使用16个最近纹素（4×4网格），通过三次多项式插值： $$c(s,t) = \sum_{i=-1}^{2}\sum_{j=-1}^{2} c_{ij} \cdot h(s-i) \cdot h(t-j)$$ 其中$h(x)$是Catmull-Rom核函数： $$h(x) = \begin{cases} 1.5|x|^3 - 2.5|x|^2 + 1 & |x| \leq 1 \ -0.5|x|^3 + 2.5|x|^2 - 4|x| + 2 & 1 < |x| \leq 2 \ 0 & |x| > 2 \end{cases}$$

• 优点：更平滑的结果，适合高质量放大
• 缺点：计算成本高，可能产生振铃（ringing）

4.3.4 纹理放大与缩小

纹理采样的核心挑战是处理纹理分辨率与屏幕分辨率不匹配的情况。

放大（Magnification）问题：

现象：

• 纹理分辨率低于屏幕采样率
• 一个纹素覆盖多个像素
• 出现块状或模糊伪影

解决方案：

1. 双线性插值：基本选择，平滑但模糊
2. 双三次插值：更高质量，但计算昂贵
3. 超分辨率技术： - ESRGAN等深度学习方法 - 实时超分（DLSS、FSR）

缩小（Minification）问题：

现象：

• 纹理分辨率高于屏幕采样率
• 多个纹素映射到一个像素
• 出现走样（aliasing）和摩尔纹（moiré patterns）

走样的根源： 根据奈奎斯特采样定理，采样频率必须至少是信号最高频率的两倍： $$f_s > 2 f_{max}$$ 当纹理被缩小时，高频细节超过了屏幕采样率的奈奎斯特限制。

解决方案：

1. 超采样：增加采样率，但成本高
2. 预滤波：在采样前去除高频分量
3. Mipmap：预计算的多分辨率纹理金字塔

纹理过滤模式设置：

GL_TEXTURE_MIN_FILTER: // 缩小时
  - GL_NEAREST
  - GL_LINEAR
  - GL_NEAREST_MIPMAP_NEAREST
  - GL_LINEAR_MIPMAP_LINEAR

GL_TEXTURE_MAG_FILTER: // 放大时
  - GL_NEAREST
  - GL_LINEAR

4.3.5 Mipmap技术

Mipmap（来自拉丁语"multum in parvo"，意为"小中见大"）是Lance Williams于1983年提出的预滤波技术。

Mipmap构建：

1. 金字塔结构： - Level 0：原始纹理（$n \times n$） - Level 1：$n/2 \times n/2$ - Level 2：$n/4 \times n/4$ - ... - Level $\log_2(n)$：$1 \times 1$

2. 内存开销： $$\text{Total} = n^2 + \frac{n^2}{4} + \frac{n^2}{16} + ... = \frac{4}{3}n^2$$ 只增加33%的存储空间

3. 生成方法： - 简单平均：每2×2像素平均为1个 - 高质量滤波：使用Lanczos或Mitchell滤波器

Mipmap级别选择：

基本思想： 选择使得纹素与像素1:1对应的级别。

计算公式： $$L = \log_2\left(\max\left(\sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2} \cdot width, \sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2} \cdot height\right)\right)$$ 实际实现：

• 使用差分近似偏导数
• GPU硬件自动计算
• 可以加上LOD bias调整

三线性插值（Trilinear Interpolation）：

当$L$不是整数时，在相邻两个mipmap级别之间插值：

1. 计算两个级别： L0 = floor(L) L1 = L0 + 1 frac = L - L0

2. 在每个级别进行双线性插值： color0 = bilinear_sample(mipmap[L0], u, v) color1 = bilinear_sample(mipmap[L1], u, v)

3. 级别间插值： final_color = (1 - frac) * color0 + frac * color1

Mipmap的局限性：

1. 过度模糊：各向同性假设导致斜视角模糊
2. 方块伪影：不同级别之间的过渡可能可见
3. 内存带宽：需要访问多个级别

各向异性过滤（Anisotropic Filtering）：

问题： Mipmap假设纹理在两个方向上均匀缩放，但实际上：

• 地面和墙壁在斜视角下非均匀压缩
• 需要椭圆形而非圆形的采样区域

解决方案：

1. Ripmap：各向异性mipmap，存储不同长宽比
2. EWA滤波：椭圆加权平均
3. 硬件AF：沿各向异性方向多次采样

各向异性级别：

• 2x AF：2个样本
• 4x AF：4个样本
• 16x AF：16个样本（现代标准）

4.3.6 纹理应用

纹理不仅可以存储颜色，还可以存储各种表面属性。现代渲染中常用多张纹理来定义复杂材质。

1. 漫反射贴图（Diffuse/Albedo Map）： - 存储基础颜色，不包含光照信息 - 通常为sRGB格式 - 应用：$\mathbf{c}_d = \text{texture}(u, v)$ - PBR中称为Albedo，表示反照率

2. 法线贴图（Normal Map）：

切线空间法线贴图：

• RGB通道存储切线空间法线
• 红色(R)：右方向(+X)
• 绿色(G)：上方向(+Y)
• 蓝色(B)：外方向(+Z)
• 转换：$\mathbf{n}_{tangent} = 2 \cdot \text{texture}(u,v) - 1$

世界空间法线贴图：

• 直接存储世界空间法线
• 不需要TBN矩阵转换
• 但不能重用于不同朝向的表面

3. 凹凸贴图（Bump Map）： - 灰度图，存储高度偏移 - 通过有限差分计算法线扰动： $$\mathbf{n}_{new} = \mathbf{n} + k \cdot (\frac{\partial h}{\partial u} \mathbf{T} + \frac{\partial h}{\partial v} \mathbf{B})$$

• 优点：单通道，节省内存
• 缺点：需要实时计算法线

4. 位移贴图（Displacement Map）： - 真正改变几何位置 - 需要细分曲面支持 - 应用：$\mathbf{p}_{new} = \mathbf{p} + h(u,v) \cdot \mathbf{n}$

5. 环境贴图（Environment Map）：

立方体贴图（Cube Map）：

• 6个面，每个90°视野
• 根据方向向量选择面和UV
• 硬件支持好，无扭曲

球面贴图（Sphere Map）：

• 单张图像，经纬度映射
• 极点扭曲严重
• 转换：$(u,v) = (\frac{\theta}{2\pi}, \frac{\phi}{\pi})$

双抛物面贴图（Dual-Paraboloid）：

• 两张图像，分别表示半球
• 质量介于立方体和球面之间

6. PBR纹理组： - Base Color：基础颜色 - Metallic：金属度(0-1) - Roughness：粗糙度(0-1) - Normal：法线贴图 - AO：环境遮蔽 - Height/Displacement：高度信息

7. 特殊效果纹理： - Light Map：预计算光照 - Shadow Map：阴影信息 - Gloss Map：镜面反射强度 - Emission Map：自发光 - Opacity Map：透明度

本章小结

本章介绍了计算机图形学中着色的基础知识：

核心概念：

1. 光照模型： - Lambertian反射：$I = I_0 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})$ - Phong模型：$I = I_a + I_d + I_s$ - Blinn-Phong改进：使用半角向量$\mathbf{h}$

2. 着色频率： - 平面着色：每个三角形一个颜色 - Gouraud着色：顶点计算，内部插值 - Phong着色：像素级计算，插值法线

3. 纹理映射： - UV坐标系统：$(u,v) \in [0,1]^2$ - 采样方法：最近邻、双线性插值 - Mipmap：解决纹理缩小问题 - 各向异性过滤：处理非均匀缩放

关键公式：

• 反射向量：$\mathbf{r} = 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})\mathbf{n} - \mathbf{l}$
• 半角向量：$\mathbf{h} = \frac{\mathbf{l} + \mathbf{v}}{||\mathbf{l} + \mathbf{v}||_2}$
• 透视校正插值：$A = \frac{\sum \alpha_i \frac{A_i}{z_i}}{\sum \alpha_i \frac{1}{z_i}}$
• Mipmap级别：$L = \log_2 \max(||\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}||, ||\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial y}||)$

练习题

基础题

练习4.1：Phong光照计算 给定：

• 表面法线 $\mathbf{n} = (0, 1, 0)$
• 光线方向 $\mathbf{l} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0)$
• 观察方向 $\mathbf{v} = (0, 0, 1)$
• 材质参数：$k_a = 0.1$, $k_d = 0.7$, $k_s = 0.2$, $p = 32$
• 光源强度：$I_{light} = 1.0$, $I_{a,light} = 0.2$

计算Phong模型下的最终颜色强度。

Hint: 分别计算环境光、漫反射和镜面反射分量。

练习4.2：透视校正插值 三角形顶点的屏幕坐标和深度值为：

• $P_1 = (0, 0)$, $z_1 = 2$, 纹理坐标 $u_1 = 0$
• $P_2 = (1, 0)$, $z_2 = 4$, 纹理坐标 $u_2 = 1$
• $P_3 = (0, 1)$, $z_3 = 4$, 纹理坐标 $u_3 = 0$

计算点$(0.5, 0.25)$处的透视校正纹理坐标。

Hint: 先计算重心坐标，然后应用透视校正公式。

练习4.3：Mipmap级别计算 在屏幕空间中，纹理坐标的偏导数为：

• $\frac{\partial u}{\partial x} = 0.01$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 0.02$
• $\frac{\partial u}{\partial y} = 0.03$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 0.01$

纹理大小为$1024 \times 1024$。计算应该使用的mipmap级别。

Hint: 使用给定的mipmap级别公式。

挑战题

练习4.4：半球积分 证明：对于完全漫反射的Lambertian表面，当入射光在半球上均匀分布时，反射的总能量为$\pi$倍的表面反射率。

Hint: 在半球上对$\cos\theta$进行积分。

练习4.5：法线贴图的切线空间 给定三角形顶点：

• $P_1 = (0,0,0)$, $UV_1 = (0,0)$
• $P_2 = (1,0,0)$, $UV_2 = (1,0)$
• $P_3 = (0,1,1)$, $UV_3 = (0,1)$

计算切线空间的TBN矩阵。

Hint: 使用边向量和UV差值构建线性方程组。

练习4.6：能量守恒约束 对于物理真实的BRDF，证明Blinn-Phong模型不满足能量守恒。提出一种归一化方案。

Hint: 考虑BRDF的半球积分应小于等于1。

练习4.7：各向异性纹理过滤 推导各向异性过滤中椭圆参数的计算方法，给定纹理坐标的雅可比矩阵： $$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix}$$ Hint: 考虑单位圆在纹理空间中的变形。

练习4.8：Phong插值的非线性效应 考虑一个球面上的三角形，其三个顶点的法线分别指向外。分析在Phong着色下，三角形内部插值法线的长度变化，并讨论对光照计算的影响。

Hint: 考虑法线插值后的长度不再为1。

常见陷阱与错误

1. 法线方向错误

• 问题：法线指向内部导致光照反转
• 调试：检查$\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}$的符号，使用max(0, dot)
• 解决：确保法线始终指向外部，考虑双面光照

2. 未归一化的向量

• 问题：计算点积时使用未归一化的向量
• 症状：光照强度异常，高光位置错误
• 解决：在计算前始终归一化方向向量

3. 透视插值错误

• 问题：直接在屏幕空间插值3D属性
• 症状：纹理扭曲，特别是在大三角形上
• 解决：使用透视校正插值公式

4. Mipmap边界伪影

• 问题：mipmap级别突变导致可见边界
• 症状：纹理出现明显的过渡线
• 解决：使用三线性插值而非双线性

5. 伽马校正遗漏

• 问题：在线性空间计算但显示时未校正
• 症状：图像过暗或过亮
• 解决：渲染到线性空间，显示时应用伽马校正

6. 纹理坐标越界

• 问题：UV坐标超出$[0,1]$范围
• 症状：纹理重复、镜像或夹紧
• 解决：正确设置纹理包装模式（wrap/clamp/mirror）

最佳实践检查清单

光照计算

• [ ] 所有方向向量都已归一化
• [ ] 使用max(0, dot)避免负值光照
• [ ] 考虑了光源衰减（点光源）
• [ ] 正确处理背面（双面光照或剔除）
• [ ] 避免在顶点着色器计算高频光照效果

着色管线

• [ ] 根据需求选择合适的着色频率
• [ ] 使用透视校正插值
• [ ] 在片段着色器中重新归一化插值后的法线
• [ ] 考虑使用延迟着色优化多光源场景
• [ ] 正确设置和使用深度测试

纹理映射

• [ ] UV坐标在合理范围内
• [ ] 选择合适的过滤模式
• [ ] 为缩小情况生成mipmap
• [ ] 考虑各向异性过滤提升质量
• [ ] 纹理格式适合用途（sRGB/线性）
• [ ] 合理设置纹理包装模式

性能优化

• [ ] 避免在片段着色器中的分支
• [ ] 预计算可以在顶点着色器完成的内容
• [ ] 使用纹理缓存友好的访问模式
• [ ] 考虑LOD（细节层次）减少远处物体的计算
• [ ] 合理使用早期深度测试（Early-Z）