统一计算机图形学：从几何光学到波动物理

课程概述

本课程提供了一个统一的计算机图形学数学框架，从经典渲染技术发展到现代神经表示，最终连接到物理光学。我们将体积渲染方程作为核心形式，涵盖了基于点的渲染、基于图像的渲染和神经渲染方法，然后将其扩展以包含波动现象。

先修要求

线性代数（特征值、SVD、张量记法）
多元微积分（偏导数、多重积分、向量微积分）
概率论（PDF、期望、蒙特卡洛方法）
基础复分析（用于波动光学章节）
傅里叶分析（连续和离散变换）

学习目标

完成本课程后，您将能够：

将渲染理解为积分方程的解
在统一的体积渲染框架内表述各种渲染技术
将经典计算机图形学与物理光学联系起来
从第一性原理推导渲染算法
分析渲染方法的收敛性和误差界

目录

第一部分：基础

第1章：几何光学与渲染基础

光线追踪基础与渲染方程
坐标系统与变换
BRDF、BSDF和BSSRDF
渲染中的蒙特卡洛积分
路径积分表述

第2章：光场与近场光学

4D和5D光场表示
全光函数
光学中的维格纳分布函数
菲涅尔和夫琅禾费衍射
空间和时间相干性

第二部分：体积渲染统一化

第3章：基于点的渲染与统一体积渲染方程

统一体积渲染方程的推导
点云作为δ函数分布
溅射核与重建滤波器
离散样本的体积渲染方程
误差分析与收敛性：数学界限到计算复杂度O(N log N)

第4章：基于图像的渲染 [需要: Ch2]

光场渲染作为4D插值
视图合成与极线约束
光图与表面光场
傅里叶切片定理应用
IBR的采样理论与计算复杂度

第5章：基于物理的渲染

辐射传输方程
体积散射与相位函数
通过扩散的次表面散射
参与介质
能量守恒与互易性

第6章：神经辐射场基础（NeRF）

连续体积表示
位置编码与频谱偏差
作为函数逼近的体积渲染
基于梯度的优化
正则化与先验

第7章：动态神经辐射场 [需要: Ch6]

时变辐射场表示
形变场（Deformation Field）建模
光流与场景流约束
基于Warp的运动表示
正则流（Canonical Space）方法

第8章：4D神经表示与频域方法 [需要: Ch2, Ch6]

4D时空辐射场
傅里叶体积渲染
K-Planes：分解的4D表示
频域中的时间插值
带宽限制与采样理论

第9章：显式神经表示

体素网格与八叉树
Plenoxels：球谐函数体素
TensoRF：张量分解辐射场
低秩与稀疏表示
显式vs隐式权衡

第10章：3D高斯溅射

场景的高斯混合模型
各向异性核与协方差
可微光栅化
自适应密度控制
实时考虑

第三部分：逆向渲染

第11章：逆向渲染的数学基础

渲染方程的逆问题
不适定性与正则化
梯度计算：伴随法与自动微分
贝叶斯推断框架
凸优化与非凸优化

第12章：可微渲染 [需要: Ch11]

可微光线追踪
边缘采样与重参数化
可微阴影与可见性
梯度偏差与方差权衡
实现框架：Mitsuba3, DIRT, Redner

第13章：材质与几何重建 [需要: Ch5, Ch12]

BRDF/BSSRDF估计
形状从明暗恢复
多视图立体重建中的优化
联合材质-几何优化
物理约束与先验

第14章：神经逆向渲染 [需要: Ch6-9, Ch12]

神经场的逆优化
分解表示：几何、材质、光照
生成模型作为先验
少样本重建
实时逆向渲染系统

第四部分：波动光学及其扩展

第15章：标量波动光学基础

从麦克斯韦方程到亥姆霍兹方程
惠更斯-菲涅尔原理
菲涅尔衍射积分
夫琅禾费衍射与傅里叶光学
衍射受限成像系统

第16章：相干性理论

时间相干性与光谱
空间相干性与杨氏实验
互相干函数与维纳-辛钦定理
van Cittert-Zernike定理
部分相干光的传播

第17章：波前塑形与自适应光学 [需要: Ch15, Ch16]

Zernike多项式与波前描述
空间光调制器（SLM）原理
相位共轭与时间反演
散射介质中的聚焦
图形学中的自适应采样与优化

第18章：统计光学与散斑

光场的统计描述
散斑的形成与统计
粗糙表面散射
相干成像中的散斑
散斑的应用与抑制

第19章：衍射理论与计算方法

几何绕射理论（GTD）
物理绕射理论（PTD/UTD）
Ufimtsev的边缘波理论
复射线与衍射系数
计算机图形学中的衍射效应

第20章：非线性光学与显微成像

激光扫描共聚焦显微镜原理
点扩散函数与光学切片
双光子激发与非线性吸收
体积渲染中的聚焦积分
图形学中的景深与显微成像模拟

第五部分：高级光学现象

第21章：半经典光-物质相互作用

经典场与量子化物质
二能级系统与Bloch方程
拉比振荡与光学章动
饱和与功率展宽
从经典到量子的过渡

第22章：偏振光学基础

偏振态的描述
琼斯矢量与琼斯矩阵
斯托克斯参数
庞加莱球表示
偏振器件的矩阵描述

第23章：偏振渲染 [需要: Ch22]

米勒矩阵方法
偏振BRDF模型
双折射材料渲染
薄膜干涉与偏振
偏振在计算机视觉中的应用

第24章：全息显示与计算全息

全息记录与重建原理
计算机生成全息图（CGH）
空间光调制器显示技术
相位恢复算法
全息渲染管线

第25章：超材料与变换光学

负折射率材料
隐身斗篷原理
梯度折射率光学
超表面与相位调控
图形学中的材料设计

第26章：拓扑光子学

光子晶体与带隙
拓扑边缘态
手性与单向传播
鲁棒光传输
拓扑优化在渲染中的应用

第六部分：量子光学与未来方向

第27章：量子光学基础

光的量子化
相干态与压缩态
光子统计
二阶相干函数g^(2)
量子噪声与散粒噪声

第28章：量子成像与计算 [需要: Ch27]

鬼成像与关联成像
量子照明
纠缠光子对成像
量子计算在渲染中的潜力
未来展望

数学符号

本课程全程使用一致的符号：

向量：粗体小写（如 x、ω）
矩阵：粗体大写（如 M、R）
函数：斜体（如 f、L）
算子：花体（如 𝒯、ℒ）
复量：帽子记号（如 Ê、ψ̂）
傅里叶对：ℱ{f} = f̃

章节依赖关系

第1章 ─┬─→ 第3章 ──→ 第4-10章（渲染技术）──→ 第11-14章（逆向渲染）
       └─→ 第2章 ──┬→ 第4章, 第8章
                    └→ 第15章 ──→ 第16-20章（波动光学）
                                   └→ 第21章 ──→ 第27-28章（量子）

评估理念

每章包含：

2-3道基础练习：建立直觉并验证理解
2-3道挑战问题：推导新结果或证明定理
1道计算实现题：从数学到算法
提示：引导解题而不透露答案
解答：默认隐藏，强调数学推理

推荐阅读

核心参考文献

Pharr, Jakob & Humphreys - Physically Based Rendering
Born & Wolf - Principles of Optics
Goodman - Statistical Optics
Saleh & Teich - Fundamentals of Photonics

补充材料

各章节内链接的研究论文
交互式笔记本（独立仓库）
实现说明（语言无关）

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