本章深入探讨基于物理的渲染（PBR）的数学基础，将光与物质的相互作用表述为辐射传输方程。我们将建立统一的体积渲染框架来描述散射介质、次表面散射和参与介质，并严格证明能量守恒与互易性原理在渲染中的应用。通过将传统的表面渲染扩展到体积渲染，本章为后续的神经渲染方法奠定物理基础。
辐射传输方程（Radiative Transfer Equation, RTE）是描述光在参与介质中传播的基本方程。它统一了吸收、发射和散射过程，为基于物理的体积渲染提供了数学框架。
考虑光在位置 x 沿方向 ω 传播时的辐射亮度 $L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}, t)$。在微小距离 $ds$ 内，辐射亮度的变化由四个物理过程决定：
从微观到宏观的严格推导
考虑体积元 $dV = dA \cdot ds$，其中 $dA$ 是垂直于传播方向的截面积。时间 $dt$ 内通过该体积元的能量变化：
能量守恒要求： \([L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) - L(\mathbf{x} + ds\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega})] dA = [-\sigma_t L + \sigma_a L_e + \sigma_s \int p L' d\omega'] dA \cdot ds\)
取极限 $ds \to 0$，得到微分形式：
\[\frac{dL(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega})}{ds} = -\sigma_t(\mathbf{x}) L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) + \sigma_a(\mathbf{x}) L_e(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) + \sigma_s(\mathbf{x}) \int_{S^2} p(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}' \to \boldsymbol{\omega}) L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}') d\boldsymbol{\omega}'\]其中：
方向导数的几何解释
射线参数化：$\mathbf{x}(s) = \mathbf{x}_0 + s\boldsymbol{\omega}$，则： \(\frac{dL}{ds} = \frac{\partial L}{\partial x_i} \frac{dx_i}{ds} = \frac{\partial L}{\partial x_i} \omega_i = \boldsymbol{\omega} \cdot \nabla L\)
这将沿射线的变化率转换为空间导数。
辐射传输方程的标准形式
\[(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) + \sigma_t(\mathbf{x}) L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \sigma_a(\mathbf{x}) L_e(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) + \sigma_s(\mathbf{x}) \int_{S^2} p(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}' \to \boldsymbol{\omega}) L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}') d\boldsymbol{\omega}'\]时间相关形式
对于非稳态问题，需要考虑时间导数： \(\frac{1}{c} \frac{\partial L}{\partial t} + (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) L + \sigma_t L = \sigma_a L_e + \sigma_s \int_{S^2} p L' d\boldsymbol{\omega}'\)
其中 $c$ 是介质中的光速。
物理量的尺度分析
为了更好理解RTE中各项的相对重要性，考虑典型尺度：
根据$\tau$的大小，介质分类为：
RTE的算子形式
定义传输算子 $\mathcal{T}$ 和散射算子 $\mathcal{S}$： \(\mathcal{T} = -(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) - \sigma_t\) \(\mathcal{S}[L] (\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \sigma_s(\mathbf{x}) \int_{S^2} p(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}' \to \boldsymbol{\omega}) L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}') d\boldsymbol{\omega}'\)
RTE可写作： \(\mathcal{T}[L] = -\sigma_a L_e - \mathcal{S}[L]\)
或重排为： \(L = \mathcal{T}^{-1}[-\sigma_a L_e - \mathcal{S}[L]]\)
这形式便于迭代求解和理论分析。
对于有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$，需要指定边界条件。设 $\partial\Omega$ 为域的边界，n 为外法向量。
入射边界条件：对于 $\mathbf{x} \in \partial\Omega$ 且 $\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{n} < 0$： \(L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = L_{inc}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega})\)
出射边界条件：对于 $\mathbf{x} \in \partial\Omega$ 且 $\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{n} > 0$：
| 反射边界：$$L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \int_{\boldsymbol{\omega}’ \cdot \mathbf{n} < 0} f_r(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}’, \boldsymbol{\omega}) L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}’) | \boldsymbol{\omega}’ \cdot \mathbf{n} | d\boldsymbol{\omega}’$$ |
界面条件：在两种介质的界面上，需要考虑菲涅尔方程。设折射率为 $n_1$ 和 $n_2$，则： \(L_t = \frac{n_2^2}{n_1^2} T(\theta_i) L_i\) \(L_r = R(\theta_i) L_i\)
其中 $T$ 和 $R$ 分别为透射率和反射率，满足 $T + R = 1$（能量守恒）。
Robin边界条件
对于半透明边界，使用混合边界条件： \(L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) + \ell_b (\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{n}) \frac{\partial L}{\partial n} = g(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega})\)
其中 $\ell_b$ 是外推长度，与表面反射特性相关。
周期边界条件
对于周期性结构（如光子晶体）： \(L(\mathbf{x} + \mathbf{L}, \boldsymbol{\omega}) = L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega})\)
其中 L 是晶格周期向量。
辐射传输方程的解析解仅在特殊情况下存在。我们首先考虑几种可解情况，然后讨论一般的数值方法。
情况1：均匀介质无散射（$\sigma_s = 0$）
沿射线参数化：$\mathbf{x}(s) = \mathbf{x}_0 + s\boldsymbol{\omega}$，方程简化为常微分方程： \(\frac{dL}{ds} + \sigma_a L = \sigma_a L_e\)
这是一阶线性ODE，使用积分因子$\mu(s) = e^{\sigma_a s}$： \(\frac{d}{ds}[L(s)e^{\sigma_a s}] = \sigma_a L_e(s) e^{\sigma_a s}\)
积分得到通解： \(L(s) = L(0)e^{-\sigma_a s} + \sigma_a \int_0^s L_e(s') e^{-\sigma_a(s-s')} ds'\)
这就是比尔-朗伯定律（Beer-Lambert law）的推广，包含了发射项。
情况2：各向同性单次散射
假设散射仅发生一次，且相位函数各向同性 $p = 1/(4\pi)$。使用Born近似： \(L = L^{(0)} + L^{(1)} + \mathcal{O}(\sigma_s^2)\)
其中 $L^{(0)}$ 是无散射解，$L^{(1)}$ 是单次散射贡献： \(L^{(1)}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \int_0^s T(0,s') \frac{\sigma_s(\mathbf{x}')}{4\pi} \int_{S^2} L^{(0)}(\mathbf{x}(s'), \boldsymbol{\omega}') d\boldsymbol{\omega}' ds'\)
其中 $T(s_1,s_2) = \exp(-\int_{s_1}^{s_2} \sigma_t(s’)ds’)$ 为光学透射率。
情况3：小角度散射近似
当相位函数强烈前向散射（$g \to 1$）时，使用Fokker-Planck近似： \(\frac{\partial L}{\partial s} + \sigma_t L = \sigma_a L_e + \sigma_s L + \frac{\sigma_s(1-g)}{2} \nabla_\perp^2 L\)
其中 $\nabla_\perp^2$ 是垂直于 ω 的拉普拉斯算子。
积分方程形式
将RTE改写为Volterra型积分方程，便于迭代求解： \(L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = L_0(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) + \int_0^{\tau_b} e^{-\tau} Q(\mathbf{x}(\tau), \boldsymbol{\omega}) d\tau\)
其中：
特征线方法
RTE沿特征线（光线）是一维问题。定义特征坐标： \(\frac{d\mathbf{x}}{ds} = \boldsymbol{\omega}, \quad \frac{d\boldsymbol{\omega}}{ds} = 0\)
沿特征线，RTE简化为： \(\frac{dL}{ds} + \sigma_t L = S(\mathbf{x}(s), \boldsymbol{\omega})\)
这可用标准ODE方法求解。
数值方法详述
离散坐标法（Discrete Ordinates, S_N方法）：
将角度空间离散化为 $N$ 个方向 ${\boldsymbol{\omega}_i}$，权重 ${w_i}$满足： \(\sum_{i=1}^N w_i = 4\pi, \quad \sum_{i=1}^N w_i \omega_{i,k} = 0, \quad \sum_{i=1}^N w_i \omega_{i,k}\omega_{i,l} = \frac{4\pi}{3}\delta_{kl}\)
离散化的RTE系统： \((\boldsymbol{\omega}_i \cdot \nabla) L_i + \sigma_t L_i = \sigma_a L_{e,i} + \sigma_s \sum_{j=1}^N w_j p_{ij} L_j\)
常用正交集：Gauss-Legendre、Chebyshev等。
球谐函数展开（P_N方法）：
将辐射亮度展开为球谐函数： \(L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} L_{lm}(\mathbf{x}) Y_{lm}(\boldsymbol{\omega})\)
其中球谐系数： \(L_{lm}(\mathbf{x}) = \int_{S^2} L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) Y_{lm}^*(\boldsymbol{\omega}) d\boldsymbol{\omega}\)
代入RTE，利用球谐函数的递推关系和正交性，得到耦合PDE系统。P₁近似保留l=0,1项，导出扩散方程。
蒙特卡洛方法（Monte Carlo）：
路径积分表示： \(L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \sum_{k=0}^{\infty} L^{(k)}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega})\)
其中 $L^{(k)}$ 是k次散射贡献。使用俄罗斯轮盘终止无限级数： \(L \approx \sum_{k=0}^{K} \frac{L^{(k)}}{p_k}\)
其中 $p_k$ 是继续追踪的概率。
方差减少技术：
有限元方法（FEM）：
弱形式： \(\int_{\Omega \times S^2} \psi \left[ (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) L + \sigma_t L \right] d\mathbf{x} d\boldsymbol{\omega} = \int_{\Omega \times S^2} \psi S d\mathbf{x} d\boldsymbol{\omega}\)
选择适当的测试函数$\psi$和基函数，构建稀疏线性系统。
流线上风Petrov-Galerkin（SUPG）： 对于对流占优问题，添加人工扩散项： \(\psi_{SUPG} = \psi + \tau (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla)\psi\)
其中 $\tau$ 是稳定化参数。
格子Boltzmann方法：
基于速度离散的动力学方程： \(f_i(t+\Delta t, \mathbf{x}+\boldsymbol{\omega}_i\Delta t) - f_i(t,\mathbf{x}) = \Omega_i\)
其中 $\Omega_i$ 是碰撞算子，$f_i$ 是分布函数。
收敛性分析
对于迭代方法，收敛条件是散射算子的谱半径小于1： \(\rho(\mathcal{K}) = \sup_{\mathbf{x}} \frac{\sigma_s(\mathbf{x})}{\sigma_t(\mathbf{x})} < 1\)
收敛速度： \(||L^{(n)} - L|| \leq C \rho^n ||L^{(0)} - L||\)
误差估计
对于离散化方法，总误差包括：
体积散射是光与介质中微粒相互作用的结果。相位函数描述了散射光的角度分布，是参与介质渲染的核心组件。
微观到宏观的推导
考虑介质中密度为 $\rho(\mathbf{x})$ 的散射粒子，每个粒子的散射截面为 $\sigma_s$，吸收截面为 $\sigma_a$。宏观系数为：
\(\sigma_s(\mathbf{x}) = \rho(\mathbf{x}) \cdot \sigma_{s,particle}\) \(\sigma_a(\mathbf{x}) = \rho(\mathbf{x}) \cdot \sigma_{a,particle}\)
对于混合介质，总系数是各成分的线性组合： \(\sigma_t = \sum_i \rho_i \sigma_{t,i}\)
散射截面的物理含义
散射截面定义为入射能量流与散射功率的比值： \(\sigma_s = \frac{P_{scattered}}{I_{incident}}\)
对于球形粒子，几何截面 $\sigma_{geo} = \pi r^2$，但散射截面可能大于或小于几何截面：
单散射反照率（Single Scattering Albedo）
定义单散射反照率 $\alpha$ 为散射与消光的比值： \(\alpha = \frac{\sigma_s}{\sigma_t} = \frac{\sigma_s}{\sigma_a + \sigma_s}\)
物理意义：光子与介质相互作用时被散射（而非吸收）的概率。
平均自由程（Mean Free Path）
光子在介质中两次相互作用之间的平均距离： \(\ell = \frac{1}{\sigma_t}\)
概率分布遵循指数分布： \(P(s) = \sigma_t e^{-\sigma_t s}\)
相关长度尺度：
波长依赖性
光学系数通常与波长相关：
相位函数 $p(\boldsymbol{\omega}’ \to \boldsymbol{\omega})$ 描述了光从方向 ω’ 散射到方向 ω 的概率密度。
归一化条件 \(\int_{S^2} p(\boldsymbol{\omega}' \to \boldsymbol{\omega}) d\boldsymbol{\omega} = 1\)
对称性
旋转不变性：大多数介质中，相位函数仅依赖于散射角 $\theta = \arccos(\boldsymbol{\omega}’ \cdot \boldsymbol{\omega})$： \(p(\boldsymbol{\omega}' \to \boldsymbol{\omega}) = p(\cos\theta)\)
互易性（某些情况下）： \(p(\boldsymbol{\omega}' \to \boldsymbol{\omega}) = p(\boldsymbol{\omega} \to \boldsymbol{\omega}')\)
前后对称性（某些粒子）： \(p(\cos\theta) = p(\cos(\pi - \theta))\)
矩与各向异性参数
第 n 阶矩： \(\mu_n = \int_{-1}^{1} \cos^n\theta \cdot p(\cos\theta) d(\cos\theta)\)
各向异性参数 g（平均余弦）： \(g = \mu_1 = \int_{S^2} (\boldsymbol{\omega}' \cdot \boldsymbol{\omega}) p(\boldsymbol{\omega}' \to \boldsymbol{\omega}) d\boldsymbol{\omega}\)
Legendre多项式展开
相位函数可展开为Legendre多项式： \(p(\cos\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{2l+1}{4\pi} \chi_l P_l(\cos\theta)\)
其中展开系数： \(\chi_l = 2\pi \int_{-1}^{1} p(\cos\theta) P_l(\cos\theta) d(\cos\theta)\)
注意：$\chi_0 = 1$（归一化），$\chi_1 = g$（各向异性参数）
相位函数的信息熵
定义Shannon熵量化散射的随机性： \(H[p] = -\int_{S^2} p(\boldsymbol{\omega}) \ln p(\boldsymbol{\omega}) d\boldsymbol{\omega}\)
1. 各向同性散射 \(p(\cos\theta) = \frac{1}{4\pi}\)
特点：$g = 0$，数学最简单，适用于高度多次散射的情况。
采样：$\cos\theta = 1 - 2\xi_1$, $\phi = 2\pi\xi_2$
应用场景：
2. Rayleigh 散射
适用于粒子尺寸远小于波长的情况（$x = 2\pi r/\lambda \ll 1$）： \(p_{Rayleigh}(\cos\theta) = \frac{3}{16\pi}(1 + \cos^2\theta)\)
各向异性参数：$g = 0$（对称散射）
偏振形式（考虑偏振态）： \(p_{Rayleigh}(\cos\theta, \phi) = \frac{3}{16\pi} \begin{pmatrix} 1 + \cos^2\theta & \sin^2\theta \cos(2\phi) \\ \sin^2\theta \cos(2\phi) & 1 + \cos^2\theta \end{pmatrix}\)
采样方法：
3. Henyey-Greenstein 相位函数
最常用的参数化相位函数： \(p_{HG}(\cos\theta) = \frac{1}{4\pi} \frac{1 - g^2}{(1 + g^2 - 2g\cos\theta)^{3/2}}\)
优点：
缺点：
勒让德展开： \(p_{HG}(\cos\theta) = \frac{1}{4\pi} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) g^l P_l(\cos\theta)\)
解析采样（见后续重要性采样部分）
4. Schlick 相位函数
Henyey-Greenstein 的有理近似，计算更高效： \(p_{Schlick}(\cos\theta) = \frac{1}{4\pi} \frac{1 - k^2}{(1 + k\cos\theta)^2}\)
参数转换：$k = 1.55g - 0.55g^3$（保持相同的平均余弦）
| 误差分析：$ | p_{Schlick} - p_{HG} | /p_{HG} < 0.02$ 对大部分角度 |
计算效率提升：避免了HG中的幂运算和平方根
5. 双 Henyey-Greenstein（Double HG）
混合前向和后向散射，更好地拟合实测数据： \(p_{DHG}(\cos\theta) = \alpha p_{HG}(\cos\theta; g_1) + (1-\alpha) p_{HG}(\cos\theta; g_2)\)
参数约束确保物理合理性：
典型参数（生物组织）：
6. Fournier-Forand 相位函数
海洋光学中常用，考虑颗粒大小分布： \(p_{FF}(\cos\theta) = \frac{1}{4\pi(1-\delta)^2\delta^v} \left[ v(1-\delta) - (1-\delta^v) \right] + \frac{1-\delta^v}{4\pi(1-\delta)^2\delta^v} \frac{3\cos^2\theta - 1}{(\sin\theta/2)^2}\)
其中：
特点：
7. Mie 散射理论
对于球形粒子的精确解，基于麦克斯韦方程：
散射振幅函数： \(S_1(\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n(n+1)} [a_n \pi_n(\cos\theta) + b_n \tau_n(\cos\theta)]\) \(S_2(\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n(n+1)} [a_n \tau_n(\cos\theta) + b_n \pi_n(\cos\theta)]\)
其中 $a_n, b_n$ 是Mie系数，涉及球贝塞尔函数： \(a_n = \frac{m\psi_n(mx)\psi'_n(x) - \psi_n(x)\psi'_n(mx)}{m\psi_n(mx)\xi'_n(x) - \xi_n(x)\psi'_n(mx)}\)
相位函数： \(p_{Mie}(\cos\theta) = \frac{4\pi}{k^2\sigma_s} \left[ |S_1(\theta)|^2 + |S_2(\theta)|^2 \right]\)
计算考虑：
8. SGGX 相位函数
基于微表面理论，适用于纤维和毛发： \(p_{SGGX}(\cos\theta) = \frac{D(\mathbf{h})}{4|\boldsymbol{\omega}' \cdot \mathbf{h}|}\)
其中 $D(\mathbf{h})$ 是SGGX分布，$\mathbf{h}$ 是半向量。
SGGX分布： \(D(\mathbf{h}) = \frac{1}{\pi \alpha_x \alpha_y} \frac{1}{(\mathbf{h} \cdot \mathbf{S}^{-1} \mathbf{h})^2}\)
S 是$3 \times 3$协方差矩阵，描述纤维方向分布。
相位函数的重要性采样
Henyey-Greenstein 采样：
给定均匀随机数 $\xi_1, \xi_2 \in [0,1]$：
采样散射角： \(\cos\theta = \begin{cases} \frac{1}{2g}\left[1 + g^2 - \left(\frac{1-g^2}{1-g+2g\xi_1}\right)^2\right] & g \neq 0 \\ 1 - 2\xi_1 & g = 0 \end{cases}\)
采样方位角：$\phi = 2\pi\xi_2$
构造散射方向（局部坐标系）：
PDF值：$p_{HG}(\cos\theta)$
拒绝采样法（通用方法）：
对于复杂相位函数：
效率：$\eta = 1/M$，选择好的$q(\theta)$最大化效率
表格法采样：
存储优化：非均匀采样，在变化剧烈区域加密
混合重要性采样：
结合相位函数和其他因素（如光源方向）： \(p_{mix}(\boldsymbol{\omega}) = \alpha p_{phase}(\boldsymbol{\omega}) + (1-\alpha) p_{light}(\boldsymbol{\omega})\)
使用多重重要性采样（MIS）组合不同策略： \(w_i = \frac{p_i^2}{\sum_j p_j^2} \quad \text{(balance heuristic)}\)
相位函数的预计算与优化
次表面散射（Subsurface Scattering, SSS）描述光进入半透明材质后在内部散射并从不同位置出射的现象。当散射远强于吸收时，可用扩散近似简化辐射传输方程。
P₁近似（球谐函数展开）
将辐射亮度展开为球谐函数的前两项： \(L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) \approx \frac{1}{4\pi}\phi(\mathbf{x}) + \frac{3}{4\pi}\mathbf{E}(\mathbf{x}) \cdot \boldsymbol{\omega}\)
其中：
从RTE到扩散方程的严格推导
将P₁展开代入RTE： \((\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla)\left[\frac{\phi}{4\pi} + \frac{3}{4\pi}\mathbf{E} \cdot \boldsymbol{\omega}\right] + \sigma_t\left[\frac{\phi}{4\pi} + \frac{3}{4\pi}\mathbf{E} \cdot \boldsymbol{\omega}\right] = \text{源项}\)
对所有方向积分（零阶矩）： \(\nabla \cdot \mathbf{E} + \sigma_a \phi = Q\)
对ω加权积分（一阶矩）： \(\frac{1}{3}\nabla\phi + \sigma_t' \mathbf{E} = \mathbf{0}\)
其中利用了 $\int\boldsymbol{\omega}\otimes\boldsymbol{\omega} d\boldsymbol{\omega} = (4\pi/3)\mathbf{I}$。
扩散近似的条件
| 近似各向同性：$ | \mathbf{E} | \ll \phi$ |
在这些条件下，辐射通量矢量遵循Fick定律： \(\mathbf{E}(\mathbf{x}) = -D \nabla \phi(\mathbf{x})\)
扩散系数： \(D = \frac{1}{3\sigma_t'} = \frac{1}{3[\sigma_a + \sigma_s(1-g)]}\)
其中 $\sigma_t’ = \sigma_a + \sigma_s’$ 是约化消光系数，$\sigma_s’ = \sigma_s(1-g)$ 是约化散射系数。
扩散方程
将Fick定律代入连续性方程： \(\nabla \cdot (-D\nabla\phi) + \sigma_a\phi = Q\)
对于均匀介质： \(\nabla^2 \phi(\mathbf{x}) - \frac{\sigma_a}{D} \phi(\mathbf{x}) = -\frac{Q(\mathbf{x})}{D}\)
或写作： \(\nabla^2 \phi - \kappa^2 \phi = -\frac{Q}{D}\)
其中：
边界条件
在介质-真空界面，需要考虑菲涅尔反射。
精确边界条件（Marshak）： \(\phi(\mathbf{x}_s) = \int_{\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{n} < 0} L(\mathbf{x}_s, \boldsymbol{\omega}) d\boldsymbol{\omega} = 2\pi \int_0^{1} L(\mathbf{x}_s, -\mu) \mu d\mu\)
外推边界条件（近似）： \(\phi(\mathbf{x}_s) + 2AD(\mathbf{n} \cdot \nabla)\phi(\mathbf{x}_s) = 0\)
其中 $A$ 是与菲涅尔反射相关的参数： \(A = \frac{1 + F_{dr}}{1 - F_{dr}}\)
菲涅尔反射率的计算
漫反射菲涅尔反射率： \(F_{dr} = \int_0^{\pi/2} R(\theta) \sin(2\theta) d\theta\)
对于相对折射率 $\eta = n_2/n_1$：
扩散近似的有效性范围
定义无量纲参数：
扩散近似误差： \(\epsilon \approx \frac{1}{\sqrt{3\tau(1-\alpha')}}\)
要求 $\epsilon < 0.1$，需要：
点光源的格林函数
对于无限介质中的点光源 $Q(\mathbf{x}) = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)$，扩散方程的解为： \(\phi(\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi D} \frac{e^{-\kappa r}}{r}\)
| 其中 $r = | \mathbf{x} - \mathbf{x}_0 | $。 |
偶极子源配置
为满足边界条件，使用镜像源方法：
其中 $z_b = 2AD$ 是外推边界距离。
BSSRDF的扩散近似
双向次表面散射分布函数（BSSRDF）定义出射辐射亮度与入射辐照度的关系： \(S(\mathbf{x}_i, \boldsymbol{\omega}_i; \mathbf{x}_o, \boldsymbol{\omega}_o) = \frac{dL_o(\mathbf{x}_o, \boldsymbol{\omega}_o)}{dE_i(\mathbf{x}_i, \boldsymbol{\omega}_i)}\)
在扩散近似下： \(S_d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_o) = \frac{1}{4\pi} F_t(\eta, \boldsymbol{\omega}_i) R_d(||\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_o||) F_t(\eta, \boldsymbol{\omega}_o)\)
扩散剖面 $R_d(r)$ 为： \(R_d(r) = \frac{\alpha'}{4\pi} \left[ \frac{e^{-\sigma_{tr}d_r}}{d_r^2} + \frac{e^{-\sigma_{tr}d_v}}{d_v^2} \right]\)
其中：
层状介质的解析解
对于N层平行介质，每层有不同的光学性质${\sigma_{a,i}, \sigma_{s,i}, g_i}$。在每层内： \(\frac{d^2\phi_i}{dz^2} - \kappa_i^2 \phi_i = 0\)
通解形式： \(\phi_i(z) = A_i e^{-\kappa_i z} + B_i e^{\kappa_i z}\)
界面连续性条件
在层间界面 $z = z_i$：
| 通量导数连续：$D_i(d\phi_i/dz) | i = D{i+1}(d\phi_{i+1}/dz) | _i$ |
构成线性方程组，可解得各层系数。
多极展开方法
对于更复杂的几何，使用多极展开： \(\phi(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=-n}^{n} a_{nm} \psi_{nm}(\mathbf{x})\)
其中 $\psi_{nm}$ 是满足边界条件的基函数。
快速多极方法（FMM）
对于大量散射源，直接求和的复杂度为 $O(N^2)$。FMM通过层次分解将复杂度降至 $O(N \log N)$：
量化多层SSS
定义有效穿透深度： \(d_{eff} = \frac{1}{\sigma_{tr}} = \frac{1}{\sqrt{3\sigma_a\sigma_t'}}\)
多层材质的有效BSSRDF可通过加权平均近似： \(S_{multi} \approx \sum_i w_i S_i\)
权重 $w_i$ 基于各层的光学厚度和位置。
参与介质（Participating Media）是指光在其中传播时会发生吸收、发射和散射的介质，如烟雾、云、水等。本节探讨如何在体积渲染框架下处理这些介质。
均匀介质
在均匀介质中，光学性质不随空间变化：$\sigma_a$、$\sigma_s$、$g$ 为常数。
透射率的解析形式： \(T(s) = e^{-\sigma_t s}\)
内散射积分简化为： \(L_s = \sigma_s \int_0^s e^{-\sigma_t t} \int_{S^2} p(\boldsymbol{\omega}' \to \boldsymbol{\omega}) L_{in}(\mathbf{x}_0 + t\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega}') d\boldsymbol{\omega}' dt\)
非均匀介质
光学性质随空间变化：$\sigma_a(\mathbf{x})$、$\sigma_s(\mathbf{x})$、$g(\mathbf{x})$。
透射率的一般形式： \(T(s_1, s_2) = \exp\left(-\int_{s_1}^{s_2} \sigma_t(\mathbf{x}(s)) ds\right)\)
光学厚度（optical depth）： \(\tau(s_1, s_2) = \int_{s_1}^{s_2} \sigma_t(\mathbf{x}(s)) ds\)
则 $T = e^{-\tau}$。
介质的数学分类
对于随机介质，使用统计描述： \(\langle T \rangle = \exp\left(-\int \langle\sigma_t\rangle ds\right) \cdot C(\tau)\)
其中 $C(\tau)$ 是相关修正因子。
Ray Marching 基础
将射线离散为 $N$ 步，步长 $\Delta s$： \(L_{out} = L_{in} \prod_{i=0}^{N-1} T_i + \sum_{i=0}^{N-1} L_{s,i} \prod_{j=i+1}^{N-1} T_j\)
其中：
自适应步长策略
基于光学厚度：保持每步 $\Delta\tau = \sigma_t \Delta s$ 恒定 \(\Delta s_i = \frac{\Delta \tau_{target}}{\sigma_t(\mathbf{x}_i)}\)
基于误差估计：使用Richardson外推 \(\epsilon = |L_{N} - L_{2N}|\)
当 $\epsilon > \epsilon_{max}$ 时细分步长。
重要性引导：在重要区域（如光源附近）使用更小步长
Woodcock Tracking（Delta Tracking）
虚拟粒子方法，将非均匀介质转化为均匀介质处理：
优点：无偏，处理高频变化介质 缺点：$\bar{\sigma}_t \gg \sigma_t$ 时效率低
Ratio Tracking
Woodcock tracking 的推广，使用控制变量： \(\bar{\sigma}_t(\mathbf{x}) = \mu(\mathbf{x}) \sigma_t^{max}\)
其中 $0 < \mu(\mathbf{x}) \leq 1$ 是空间变化的控制函数。
Spectral Tracking
对于波长相关的介质，独立追踪每个波长会导致相关性丢失。联合采样策略： \(P(s, \lambda) = \sigma_t(\mathbf{x}(s), \lambda) \exp\left(-\int_0^s \sigma_t(\mathbf{x}(t), \lambda) dt\right) P(\lambda)\)
距离采样
给定透射率 $T(s) = \exp(-\int\sigma_t ds)$，采样碰撞距离：
均匀介质：逆变换采样 \(s = -\frac{\ln(1-\xi)}{\sigma_t}\)
τ_target = -ln(1-ξ)
τ_sum = 0
for each segment i:
τ_i = σ_t,i * length_i
if τ_sum + τ_i > τ_target:
s = (τ_target - τ_sum) / σ_t,i
break
τ_sum += τ_i
相位函数采样
联合重要性采样
考虑光源方向的重要性： \(p(\boldsymbol{\omega}) = \alpha p_{phase}(\boldsymbol{\omega}) + (1-\alpha) p_{light}(\boldsymbol{\omega})\)
MIS（Multiple Importance Sampling）权重： \(w_{phase} = \frac{p_{phase}^2}{p_{phase}^2 + p_{light}^2}\)
Equiangular Sampling
对于点光源或小光源，沿射线的重要性呈现峰值。等角采样： \(t(\xi) = D \tan\left((1-\xi)\theta_a + \xi\theta_b\right)\)
其中 $D$ 是到光源的最近距离，$[\theta_a, \theta_b]$ 是角度范围。
Joint Importance Sampling
结合距离采样和等角采样： \(p(t) = \frac{1}{2} p_{distance}(t) + \frac{1}{2} p_{equiangular}(t)\)
使用MIS组合两种策略的贡献。
体积光子映射
存储介质中的光子：
struct VolumePhoton {
vec3 position
vec3 direction
vec3 power
float radius // 用于密度估计
}
辐射亮度估计： \(L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \frac{1}{4\pi r^3} \sum_{i \in N(\mathbf{x},r)} p(\boldsymbol{\omega}_i \to \boldsymbol{\omega}) \Phi_i\)
能量守恒和互易性是基于物理的渲染的两个基本原理。它们不仅确保渲染结果的物理正确性，还提供了验证算法实现的有力工具。
BRDF的能量守恒
对于任意入射方向 $\boldsymbol{\omega}_i$，反射的总能量不能超过入射能量： \(\int_{\Omega} f_r(\boldsymbol{\omega}_i, \boldsymbol{\omega}_o) (\boldsymbol{\omega}_o \cdot \mathbf{n}) d\boldsymbol{\omega}_o \leq 1\)
定义方向反射率（directional albedo）： \(\rho_d(\boldsymbol{\omega}_i) = \int_{\Omega} f_r(\boldsymbol{\omega}_i, \boldsymbol{\omega}_o) (\boldsymbol{\omega}_o \cdot \mathbf{n}) d\boldsymbol{\omega}_o\)
能量守恒要求：$\rho_d(\boldsymbol{\omega}_i) \leq 1$ 对所有方向成立。
半球反射率（Hemispherical Albedo）
平均所有入射方向： \(\rho_{hh} = \frac{1}{\pi} \int_{\Omega} \int_{\Omega} f_r(\boldsymbol{\omega}_i, \boldsymbol{\omega}_o) (\boldsymbol{\omega}_i \cdot \mathbf{n}) (\boldsymbol{\omega}_o \cdot \mathbf{n}) d\boldsymbol{\omega}_i d\boldsymbol{\omega}_o\)
对于朗伯表面：$\rho_{hh} = \rho$（反射率常数）。
相位函数的能量守恒
已在5.2.2节讨论： \(\int_{S^2} p(\boldsymbol{\omega}' \to \boldsymbol{\omega}) d\boldsymbol{\omega} = 1\)
辐射传输方程的能量守恒
对RTE在所有方向积分： \(\int_{S^2} (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) L d\boldsymbol{\omega} + \sigma_a \phi - \sigma_a \phi_e = 0\)
其中利用了散射项的守恒性。这导出辐射通量的守恒方程： \(\nabla \cdot \mathbf{F} + \sigma_a (\phi - \phi_e) = 0\)
渲染方程的能量分析
定义传输算子 $\mathcal{T}$： \((\mathcal{T}L)(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \int_{\mathcal{M}} \int_{S^2} K(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega} \leftarrow \mathbf{x}', \boldsymbol{\omega}') L(\mathbf{x}', \boldsymbol{\omega}') d\boldsymbol{\omega}' d\mathbf{x}'\)
能量守恒要求算子范数 $||\mathcal{T}|| < 1$，保证Neumann级数收敛： \(L = L_e + \mathcal{T}L_e + \mathcal{T}^2L_e + ...\)
基本陈述
光路可逆：交换光源和探测器位置，测得的辐射亮度相同。
数学表述： \(f_r(\boldsymbol{\omega}_i \to \boldsymbol{\omega}_o) = f_r(\boldsymbol{\omega}_o \to \boldsymbol{\omega}_i)\)
互易性的推广
BSSRDF互易性： \(S(\mathbf{x}_i, \boldsymbol{\omega}_i; \mathbf{x}_o, \boldsymbol{\omega}_o) = S(\mathbf{x}_o, -\boldsymbol{\omega}_o; \mathbf{x}_i, -\boldsymbol{\omega}_i)\)
相位函数互易性： \(p(\boldsymbol{\omega}_i \to \boldsymbol{\omega}_o) = p(-\boldsymbol{\omega}_o \to -\boldsymbol{\omega}_i)\)
传输互易性： 设 $G(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ 为从 y 到 x 的格林函数，则： \(G(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = G(\mathbf{y}, \mathbf{x})\)
互易性的物理起源
基于时间反演对称性和洛伦兹互易定理。在经典电磁理论中： \(\int_V \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 dV = \int_V \mathbf{J}_2 \cdot \mathbf{E}_1 dV\)
非互易情况
互易性在渲染中的应用
白炉测试（White Furnace Test）
在完全封闭的均匀发光环境中，所有点的辐射亮度应相等。
设置：
理论结果：$L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = 1$ 处处成立。
数值验证方法
蒙特卡洛收敛性： \(\text{Variance}[L_N] \propto \frac{1}{N}\)
其中 $N$ 是样本数。
能量平衡检查： \(\left| \frac{\text{Power}_{out} - \text{Power}_{in}}{\text{Power}_{in}} \right| < \epsilon\)
互易性测试： 交换光源和相机，比较结果： \(\left| \frac{L_{forward} - L_{backward}}{L_{forward}} \right| < \epsilon\)
体积介质的白炉测试
对于参与介质，修改条件：
稳态解：$\phi(\mathbf{x}) = \text{const}$
灰炉测试（Gray Furnace Test）
更一般的情况，表面反射率 $\rho < 1$： \(L = \frac{L_e}{1 - \rho}\)
这提供了多次反射正确实现的验证。
基于物理约束的调试
误差度量
相对误差： \(E_{rel} = \frac{||L_{computed} - L_{reference}||}{||L_{reference}||}\)
RMSE（均方根误差）： \(E_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_i (L_i^{comp} - L_i^{ref})^2}\)
感知误差（如SSIM）考虑人眼特性。
本章建立了基于物理的渲染的数学框架，核心是辐射传输方程（RTE）：
\[(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) L + \sigma_t L = \sigma_a L_e + \sigma_s \int_{S^2} p(\boldsymbol{\omega}' \to \boldsymbol{\omega}) L(\boldsymbol{\omega}') d\boldsymbol{\omega}'\]关键概念：
这些概念构成了体积渲染的统一框架，为后续章节中的神经渲染方法提供物理基础。
练习 5.1 证明对于纯吸收介质（$\sigma_s = 0$），辐射传输方程的解满足比尔-朗伯定律。
练习 5.2 推导Henyey-Greenstein相位函数的归一化常数。
练习 5.3 证明扩散系数 $D = 1/(3\sigma_t’)$ 的物理意义。
练习 5.4 推导双层介质（表层+基底）的BSSRDF解析表达式。
练习 5.5 设计一个自适应的ray marching算法，基于局部光学厚度调整步长。
练习 5.6 分析Woodcock tracking在极端情况下的效率，并提出改进方案。
练习 5.7 证明在多次散射主导的情况下，各向异性散射介质可以用等效的各向同性散射介质近似。