本章介绍量子光学的基础概念，为理解现代光学现象和量子成像技术奠定基础。我们将从光场的量子化开始，探讨相干态、压缩态等量子光态的数学描述，深入研究光子统计特性和量子关联，最后讨论量子噪声的物理起源及其在精密测量中的影响。这些概念不仅对理解量子光学实验至关重要，也为下一章的量子成像与计算提供必要的理论工具。
完成本章后，您将能够：
经典电磁场的能量密度包含电场和磁场贡献： \(u_{em} = \frac{1}{2}\left[\epsilon_0 E^2(r,t) + \frac{1}{\mu_0}B^2(r,t)\right]\)
总能量通过空间积分得到： \(H_{classical} = \int d^3r \, u_{em} = \frac{1}{2}\int d^3r \left[\epsilon_0 E^2(r,t) + \frac{1}{\mu_0}B^2(r,t)\right]\)
这个能量是连续的，可以取任意值。然而，Planck的黑体辐射理论暗示电磁场能量应该是量子化的。
在有限体积$V$的谐振腔中，满足边界条件的电磁场可以展开为正交模式的叠加。对于立方腔（边长$L$），完美导体边界条件要求： \(\mathbf{E}_{\parallel}|_{boundary} = 0, \quad \mathbf{B}_{\perp}|_{boundary} = 0\)
| 这导致离散的本征模式，由波矢$\mathbf{k} = \frac{2\pi}{L}(n_x, n_y, n_z)$标记，其中$n_i$为正整数。每个$\mathbf{k}$对应频率$\omega_k = c | \mathbf{k} | $。 |
在Coulomb规范下（$\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$），标势$\Phi = 0$，电磁场完全由矢势描述。矢势展开式： \(\mathbf{A}(r,t) = \sum_{k,s} \sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0\omega_k V}} \epsilon_{k,s} \left[a_{k,s}(t)e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} + a_{k,s}^*(t)e^{-i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\right]\)
其中：
| $\epsilon_{k,1} \times \epsilon_{k,2} = \mathbf{k}/ | \mathbf{k} | $（右手系） |
归一化因子$\sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0\omega_k V}}$的选择将在量子化后变得清晰。
电场和磁场由矢势导出： \(\mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)
代入矢势展开式，并假设时间依赖为$a_{k,s}(t) = a_{k,s}e^{-i\omega_k t}$： \(\mathbf{E}(r,t) = i\sum_{k,s} \sqrt{\frac{\hbar\omega_k}{2\epsilon_0 V}} \epsilon_{k,s} \left[a_{k,s}e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t)} - a_{k,s}^*e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t)}\right]\)
\[\mathbf{B}(r,t) = i\sum_{k,s} \sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0\omega_k V}} (\mathbf{k} \times \epsilon_{k,s}) \left[a_{k,s}e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t)} - a_{k,s}^*e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t)}\right]\]将场的模式展开代入经典哈密顿量，利用模式的正交性： \(\int_V d^3r \, e^{i(\mathbf{k} - \mathbf{k}') \cdot \mathbf{r}} = V\delta_{\mathbf{k},\mathbf{k}'}\)
\[\epsilon_{k,s} \cdot \epsilon_{k,s'} = \delta_{s,s'}, \quad (\mathbf{k} \times \epsilon_{k,s}) \cdot (\mathbf{k} \times \epsilon_{k,s'}) = k^2\delta_{s,s'}\]经过计算得到： \(H_{classical} = \sum_{k,s} \hbar\omega_k |a_{k,s}|^2\)
这正是无穷多个谐振子的能量之和，每个模式$(k,s)$对应一个频率为$\omega_k$的谐振子。
正则量子化要求识别共轭变量对。从经典谐振子类比，对于每个模式$(k,s)$，我们定义：
这些变量是实数，满足经典泊松括号： \(\{q_{k,s}, p_{k',s'}\} = \delta_{k,k'}\delta_{s,s'}\)
可以验证经典哈密顿量表示为： \(H_{classical} = \sum_{k,s} \frac{1}{2}[\omega_k^2 q_{k,s}^2 + p_{k,s}^2]\)
这确认了每个模式确实是一个谐振子。
量子化时，将泊松括号替换为对易子： \([\hat{q}_{k,s}, \hat{p}_{k',s'}] = i\hbar\delta_{k,k'}\delta_{s,s'}\)
所有其他对易子为零： \([\hat{q}_{k,s}, \hat{q}_{k',s'}] = [\hat{p}_{k,s}, \hat{p}_{k',s'}] = 0\)
引入算符： \(\hat{a}_{k,s} = \sqrt{\frac{\omega_k}{2\hbar}}\hat{q}_{k,s} + \frac{i}{\sqrt{2\hbar\omega_k}}\hat{p}_{k,s}\) \(\hat{a}_{k,s}^\dagger = \sqrt{\frac{\omega_k}{2\hbar}}\hat{q}_{k,s} - \frac{i}{\sqrt{2\hbar\omega_k}}\hat{p}_{k,s}\)
反过来： \(\hat{q}_{k,s} = \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega_k}}(\hat{a}_{k,s} + \hat{a}_{k,s}^\dagger)\) \(\hat{p}_{k,s} = i\sqrt{\frac{\hbar\omega_k}{2}}(\hat{a}_{k,s}^\dagger - \hat{a}_{k,s})\)
利用$[\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar$，可以导出： \([\hat{a}_{k,s}, \hat{a}_{k',s'}^\dagger] = \delta_{k,k'}\delta_{s,s'}\) \([\hat{a}_{k,s}, \hat{a}_{k',s'}] = [\hat{a}_{k,s}^\dagger, \hat{a}_{k',s'}^\dagger] = 0\)
这些是玻色子的标准对易关系。
将正则变量的算符表示代入哈密顿量： \(\hat{H} = \sum_{k,s} \frac{1}{2}[\omega_k^2 \hat{q}_{k,s}^2 + \hat{p}_{k,s}^2]\)
使用产生湮灭算符表示： \(\hat{q}_{k,s}^2 = \frac{\hbar}{2\omega_k}(\hat{a}_{k,s} + \hat{a}_{k,s}^\dagger)^2\) \(\hat{p}_{k,s}^2 = -\frac{\hbar\omega_k}{2}(\hat{a}_{k,s} - \hat{a}_{k,s}^\dagger)^2\)
展开并利用对易关系$[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$： \(\hat{H}_{k,s} = \frac{\hbar\omega_k}{4}[(\hat{a}_{k,s} + \hat{a}_{k,s}^\dagger)^2 - (\hat{a}_{k,s} - \hat{a}_{k,s}^\dagger)^2]\) \(= \frac{\hbar\omega_k}{2}[\hat{a}_{k,s}\hat{a}_{k,s}^\dagger + \hat{a}_{k,s}^\dagger\hat{a}_{k,s}]\) \(= \hbar\omega_k\left(\hat{a}_{k,s}^\dagger\hat{a}_{k,s} + \frac{1}{2}\right)\)
总哈密顿量： \(\hat{H} = \sum_{k,s} \hbar\omega_k\left(\hat{a}_{k,s}^\dagger\hat{a}_{k,s} + \frac{1}{2}\right)\)
定义光子数算符： \(\hat{n}_{k,s} = \hat{a}_{k,s}^\dagger\hat{a}_{k,s}\)
哈密顿量简化为： \(\hat{H} = \sum_{k,s} \hbar\omega_k\left(\hat{n}_{k,s} + \frac{1}{2}\right)\)
每个模式的能量量子化为$\hbar\omega_k$的整数倍，加上零点能$\hbar\omega_k/2$。
| 定义真空态$ | 0\rangle$为所有模式的基态： |
| $$\hat{a}_{k,s} | 0\rangle = 0, \quad \forall k,s$$ |
真空态是所有模式都处于最低能量状态的态。它满足： \(\hat{n}_{k,s}|0\rangle = 0, \quad \forall k,s\)
但真空能量不为零： \(E_{vacuum} = \langle 0|\hat{H}|0\rangle = \sum_{k,s} \frac{\hbar\omega_k}{2}\)
对于单个模式$(k,s)$，Fock态（光子数态）通过反复作用产生算符构造： \(|n\rangle_{k,s} = \frac{(\hat{a}_{k,s}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle\)
| 归一化因子$1/\sqrt{n!}$确保$\langle n | n\rangle = 1$。可以通过数学归纳法证明： | |
| $$\hat{a}_{k,s}^\dagger | n\rangle_{k,s} = \sqrt{n+1} | n+1\rangle_{k,s}$$ |
| $$\hat{a}_{k,s} | n\rangle_{k,s} = \sqrt{n} | n-1\rangle_{k,s}$$ |
这些关系可记忆为：
| $\hat{a}$湮灭一个光子，系数$\sqrt{n}$确保$\hat{a} | 0\rangle = 0$ |
一般的多模Fock态： \(|\{n_{k,s}\}\rangle = \prod_{k,s} \frac{(\hat{a}_{k,s}^\dagger)^{n_{k,s}}}{\sqrt{n_{k,s}!}}|0\rangle\)
| 简记为$ | n_1, n_2, …\rangle$，其中每个$n_i$表示模式$i$中的光子数。 |
光子数算符的本征方程： \(\hat{n}_{k,s}|n_{k,s}\rangle = n_{k,s}|n_{k,s}\rangle\)
利用$\hat{n} = \hat{a}^\dagger\hat{a}$和对易关系，可以导出： \(\hat{n}\hat{a}^\dagger|n\rangle = \hat{a}^\dagger(\hat{n}+1)|n\rangle = (n+1)\hat{a}^\dagger|n\rangle\)
| 这确认了$\hat{a}^\dagger | n\rangle \propto | n+1\rangle$。 |
Fock态是哈密顿量的本征态： \(\hat{H}|\{n_{k,s}\}\rangle = E_{\{n_{k,s}\}}|\{n_{k,s}\}\rangle\)
其中能量本征值： \(E_{\{n_{k,s}\}} = \sum_{k,s} \hbar\omega_k\left(n_{k,s} + \frac{1}{2}\right)\)
能级间隔：
正交性： \(\langle\{n_{k,s}\}|\{n'_{k,s}\}\rangle = \prod_{k,s} \delta_{n_{k,s},n'_{k,s}}\)
完备性： \(\sum_{\{n_{k,s}\}} |\{n_{k,s}\}\rangle\langle\{n_{k,s}\}| = \mathbb{I}\)
任意态可展开： \(|\psi\rangle = \sum_{\{n_{k,s}\}} c_{\{n_{k,s}\}}|\{n_{k,s}\}\rangle\)
| 其中$c_{{n_{k,s}}} = \langle{n_{k,s}} | \psi\rangle$是概率幅。 |
真空态虽然没有光子，但具有非零能量： \(E_0 = \langle 0|\hat{H}|0\rangle = \sum_{k,s} \frac{\hbar\omega_k}{2}\)
这个和发散，因为模式数无穷。处理方法：
电场算符的真空期望值为零： \(\langle 0|\hat{\mathbf{E}}(r,t)|0\rangle = 0\)
| 这是因为$\hat{\mathbf{E}} \propto (\hat{a} - \hat{a}^\dagger)$，而$\langle 0 | \hat{a} | 0\rangle = \langle 0 | \hat{a}^\dagger | 0\rangle = 0$。 |
但均方涨落非零。对于单模： \(\langle 0|\hat{E}_{k,s}^2|0\rangle = \frac{\hbar\omega_k}{2\epsilon_0 V}\)
总的真空涨落： \(\langle 0|\hat{\mathbf{E}}^2(r,t)|0\rangle = \sum_{k,s} \frac{\hbar\omega_k}{2\epsilon_0 V}|\epsilon_{k,s}|^2\)
真空涨落可理解为：
Casimir效应
两平行导体板（间距$d$）改变了允许的模式： \(k_z = \frac{n\pi}{d}, \quad n = 1,2,3,...\)
真空能依赖于$d$： \(E_{Casimir}(d) = -\frac{\pi^2\hbar c}{720d^3}A\)
产生吸引力： \(F = -\frac{\partial E}{\partial d} = -\frac{\pi^2\hbar c}{240d^4}A\)
Lamb位移
原子能级因与真空场耦合而移动。对于氢原子2S₁/₂和2P₁/₂能级： \(\Delta E_{Lamb} \approx 1057 \text{ MHz}\)
主要贡献来自电子位置算符与真空电场的二阶微扰。
自发辐射
激发态原子的衰减率（Einstein A系数）： \(A_{if} = \frac{\omega_{if}^3}{3\pi\epsilon_0\hbar c^3}|\langle f|\hat{\mathbf{d}}|i\rangle|^2\)
其中$\hat{\mathbf{d}}$是电偶极矩算符。这可以理解为真空涨落诱导的跃迁。
定义单模场的正交振幅算符： \(\hat{X} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{a}^\dagger), \quad \hat{P} = \frac{i}{\sqrt{2}}(\hat{a}^\dagger - \hat{a})\)
这些算符的物理意义：
反演关系： \(\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{X} - i\hat{P}), \quad \hat{a}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{X} + i\hat{P})\)
这些算符满足： \([\hat{X}, \hat{P}] = i\)
导出过程： \([\hat{X}, \hat{P}] = \frac{i}{2}[(\hat{a} + \hat{a}^\dagger), (\hat{a}^\dagger - \hat{a})]\) \(= \frac{i}{2}([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] - [\hat{a}^\dagger, \hat{a}]) = \frac{i}{2} \cdot 2 = i\)
对应的不确定性关系： \(\Delta X \Delta P \geq \frac{1}{2}\)
在真空态中： \(\langle 0|\hat{X}|0\rangle = \langle 0|\hat{P}|0\rangle = 0\)
方差： \(\langle 0|\hat{X}^2|0\rangle = \frac{1}{2}\langle 0|(\hat{a} + \hat{a}^\dagger)^2|0\rangle = \frac{1}{2}\langle 0|\hat{a}\hat{a}^\dagger + \hat{a}^\dagger\hat{a}|0\rangle = \frac{1}{2}\)
类似地： \(\langle 0|\hat{P}^2|0\rangle = \frac{1}{2}\)
因此：$\Delta X = \Delta P = \frac{1}{\sqrt{2}}$，乘积$\Delta X \Delta P = \frac{1}{2}$达到最小不确定性。
在$(X,P)$相位空间中：
经典相干场可写为： \(E(t) = E_0\cos(\omega t + \phi) = E_0[\cos\phi\cos(\omega t) - \sin\phi\sin(\omega t)]\)
定义：
量子对应： \(\hat{E}(t) \propto \hat{X}\cos(\omega t) - \hat{P}\sin(\omega t)\)
更一般地，可定义任意相位的正交分量： \(\hat{X}_\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}e^{-i\theta} + \hat{a}^\dagger e^{i\theta})\) \(\hat{P}_\theta = \frac{i}{\sqrt{2}}(\hat{a}^\dagger e^{i\theta} - \hat{a}e^{-i\theta})\)
这相当于在相位空间中旋转角度$\theta$： \(\begin{pmatrix} \hat{X}_\theta \\ \hat{P}_\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{X} \\ \hat{P} \end{pmatrix}\)
对易关系保持不变：$[\hat{X}\theta, \hat{P}\theta] = i$。
相干态代表了量子光学中最接近经典光的量子态。它们是湮灭算符的本征态： \(\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle\)
| 其中$\alpha = | \alpha | e^{i\phi}$是复数本征值，$ | \alpha | $对应经典振幅，$\phi$对应相位。 |
相干态的概念：
在光子数基下，相干态表示为： \(|\alpha\rangle = e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle\)
| 推导过程：设$ | \alpha\rangle = \sum_n c_n | n\rangle$，代入本征方程： | |
| $$\hat{a} | \alpha\rangle = \sum_n c_n\sqrt{n} | n-1\rangle = \alpha\sum_n c_n | n\rangle$$ |
比较$|n\rangle$的系数： \(c_n\sqrt{n+1} = \alpha c_{n+1}\)
递推关系：$c_{n+1} = \frac{\alpha}{\sqrt{n+1}}c_n = \frac{\alpha^{n+1}}{\sqrt{(n+1)!}}c_0$
归一化条件： \(1 = \langle\alpha|\alpha\rangle = |c_0|^2\sum_n \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} = |c_0|^2 e^{|\alpha|^2}\)
| 因此$c_0 = e^{- | \alpha | ^2/2}$（选择相位为0）。 |
两个相干态的内积： \(\langle\alpha|\beta\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2+|\beta|^2}{2}}\sum_n \frac{(\alpha^*)^n\beta^n}{n!} = e^{-\frac{|\alpha|^2+|\beta|^2}{2}}e^{\alpha^*\beta}\)
简化为： \(\langle\alpha|\beta\rangle = e^{-\frac{1}{2}|\alpha-\beta|^2}e^{i\text{Im}(\alpha^*\beta)}\)
物理意义：
| 重叠随距离$ | \alpha-\beta | $呈高斯衰减 |
| 当$ | \alpha-\beta | > 3$时，$ | \langle\alpha | \beta\rangle | ^2 < 10^{-4}$（近似正交） |
相干态构成过完备基： \(\frac{1}{\pi}\int d^2\alpha |\alpha\rangle\langle\alpha| = \mathbb{I}\)
证明：利用Fock基展开 \(\frac{1}{\pi}\int d^2\alpha |\alpha\rangle\langle\alpha| = \frac{1}{\pi}\int d^2\alpha e^{-|\alpha|^2}\sum_{n,m}\frac{\alpha^n(\alpha^*)^m}{\sqrt{n!m!}}|n\rangle\langle m|\)
极坐标下$\alpha = re^{i\theta}$： \(\int_0^{2\pi}d\theta e^{i(n-m)\theta} = 2\pi\delta_{nm}\)
径向积分： \(\int_0^\infty r dr \, r^{2n}e^{-r^2} = \frac{n!}{2}\)
因此： \(\frac{1}{\pi}\int d^2\alpha |\alpha\rangle\langle\alpha| = \sum_n |n\rangle\langle n| = \mathbb{I}\)
实验上产生相干态的方法：
| 强衰减相干光：$ | \alpha | \ll 1$时近似单光子源 |
| 位移真空态：$ | \alpha\rangle = \hat{D}(\alpha) | 0\rangle$ |
平均光子数： \(\langle\hat{n}\rangle = \langle\alpha|\hat{a}^\dagger\hat{a}|\alpha\rangle = |\alpha|^2\)
| 推导：利用$\hat{a} | \alpha\rangle = \alpha | \alpha\rangle$ | |||
| $$\langle\hat{n}\rangle = \langle\alpha | \hat{a}^\dagger\hat{a} | \alpha\rangle = \alpha^*\alpha\langle\alpha | \alpha\rangle = | \alpha | ^2$$ |
高阶矩： \(\langle\hat{n}^k\rangle = \langle\alpha|(\hat{a}^\dagger\hat{a})^k|\alpha\rangle\)
| 利用正规序和$\hat{a} | \alpha\rangle = \alpha | \alpha\rangle$： |
| $$\langle:\hat{n}^k:\rangle = | \alpha | ^{2k}$$ |
但实际的$k$阶矩包含了正规序修正。
光子数方差： \(\langle\hat{n}^2\rangle = \langle\alpha|\hat{n}(\hat{n}-1)+\hat{n}|\alpha\rangle = |\alpha|^4 + |\alpha|^2\)
因此： \((\Delta n)^2 = \langle\hat{n}^2\rangle - \langle\hat{n}\rangle^2 = |\alpha|^2 = \langle\hat{n}\rangle\)
这是泊松统计的特征：方差等于平均值。
光子数分布（泊松分布）： \(P(n) = |\langle n|\alpha\rangle|^2 = \frac{|\alpha|^{2n}}{n!}e^{-|\alpha|^2} = \frac{\bar{n}^n}{n!}e^{-\bar{n}}\)
| 其中$\bar{n} = | \alpha | ^2$是平均光子数。 |
电场算符（单模）： \(\hat{E}(r,t) = i\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_0 V}}\epsilon\left[\hat{a}e^{i(k \cdot r - \omega t)} - \hat{a}^\dagger e^{-i(k \cdot r - \omega t)}\right]\)
期望值： \(\langle\alpha|\hat{E}(r,t)|\alpha\rangle = i\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_0 V}}\epsilon\left[\alpha e^{i(k \cdot r - \omega t)} - \alpha^* e^{-i(k \cdot r - \omega t)}\right]\)
| 设$\alpha = | \alpha | e^{i\phi}$： |
| $$\langle\hat{E}(r,t)\rangle = 2\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_0 V}} | \alpha | \epsilon\sin(k \cdot r - \omega t + \phi)$$ |
| 这正是经典相干波，振幅$E_0 = 2 | \alpha | \sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_0 V}}$。 |
正交分量的期望值： \(\langle\hat{X}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle\alpha|\hat{a} + \hat{a}^\dagger|\alpha\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha + \alpha^*) = \sqrt{2}\text{Re}(\alpha)\) \(\langle\hat{P}\rangle = \frac{i}{\sqrt{2}}\langle\alpha|\hat{a}^\dagger - \hat{a}|\alpha\rangle = \frac{i}{\sqrt{2}}(\alpha^* - \alpha) = \sqrt{2}\text{Im}(\alpha)\)
方差： \((\Delta X)^2 = \langle\hat{X}^2\rangle - \langle\hat{X}\rangle^2 = \frac{1}{2}\) \((\Delta P)^2 = \langle\hat{P}^2\rangle - \langle\hat{P}\rangle^2 = \frac{1}{2}\)
相干态特征：
在自由演化下： \(|\alpha(t)\rangle = e^{-i\hat{H}t/\hbar}|\alpha(0)\rangle = e^{-i\omega t/2}|\alpha(0)e^{-i\omega t}\rangle\)
相干态保持相干态，只是复振幅旋转： \(\alpha(t) = \alpha(0)e^{-i\omega t}\)
这对应经典谐振子的运动。
相干态被称为”准经典态”的原因：
位移算符定义： \(\hat{D}(\alpha) = \exp(\alpha\hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a})\)
位移算符在相位空间中平移量子态：
对于两个算符$\hat{A}$和$\hat{B}$，若$[\hat{A}, \hat{B}] = c$（c数），则： \(e^{\hat{A}+\hat{B}} = e^{-c/2}e^{\hat{A}}e^{\hat{B}} = e^{c/2}e^{\hat{B}}e^{\hat{A}}\)
应用于位移算符，设$\hat{A} = \alpha\hat{a}^\dagger$，$\hat{B} = -\alpha^*\hat{a}$： \([\hat{A}, \hat{B}] = \alpha(-\alpha^*)[\hat{a}^\dagger, \hat{a}] = |\alpha|^2\)
因此： \(\hat{D}(\alpha) = e^{-|\alpha|^2/2}e^{\alpha\hat{a}^\dagger}e^{-\alpha^*\hat{a}} = e^{|\alpha|^2/2}e^{-\alpha^*\hat{a}}e^{\alpha\hat{a}^\dagger}\)
幺正性： \(\hat{D}^\dagger(\alpha) = \exp(\alpha^*\hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger) = \hat{D}(-\alpha)\)
因此：$\hat{D}^\dagger(\alpha)\hat{D}(\alpha) = \hat{D}(-\alpha)\hat{D}(\alpha) = \mathbb{I}$
群性质： \(\hat{D}(\alpha)\hat{D}(\beta) = e^{i\text{Im}(\alpha^*\beta)}\hat{D}(\alpha+\beta)\)
证明：使用BCH公式和$[\alpha\hat{a}^\dagger - \alpha^\hat{a}, \beta\hat{a}^\dagger - \beta^\hat{a}] = 2i\text{Im}(\alpha^*\beta)$
变换性质：
利用$e^{\hat{A}}\hat{B}e^{-\hat{A}} = \hat{B} + [\hat{A}, \hat{B}] + \frac{1}{2!}[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]] + …$
对于$\hat{A} = \alpha\hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a}$： \([\hat{A}, \hat{a}] = -\alpha, \quad [\hat{A}, \hat{a}^\dagger] = \alpha^*\)
高阶对易子为零，因此： \(\hat{D}^\dagger(\alpha)\hat{a}\hat{D}(\alpha) = \hat{a} + \alpha\) \(\hat{D}^\dagger(\alpha)\hat{a}^\dagger\hat{D}(\alpha) = \hat{a}^\dagger + \alpha^*\)
生成相干态： \(|\alpha\rangle = \hat{D}(\alpha)|0\rangle\)
验证： \(\hat{a}|\alpha\rangle = \hat{a}\hat{D}(\alpha)|0\rangle = \hat{D}(\alpha)[\hat{D}^\dagger(\alpha)\hat{a}\hat{D}(\alpha)]|0\rangle\) \(= \hat{D}(\alpha)(\hat{a} + \alpha)|0\rangle = \alpha\hat{D}(\alpha)|0\rangle = \alpha|\alpha\rangle\)
Fock基表示： \(\langle n|\hat{D}(\alpha)|m\rangle = \sqrt{\frac{m!}{n!}}e^{-|\alpha|^2/2}\alpha^{n-m}L_m^{n-m}(|\alpha|^2)\)
其中$L_m^{n-m}$是关联Laguerre多项式（$n \geq m$时）。
相干态表示： \(\hat{D}(\alpha) = \int \frac{d^2\beta}{\pi}|\beta+\alpha\rangle\langle\beta|\)
位移操作的实验方法：
压缩算符定义： \(\hat{S}(\xi) = \exp\left[\frac{1}{2}(\xi^*\hat{a}^2 - \xi\hat{a}^{\dagger 2})\right]\)
其中$\xi = re^{i\theta}$，$r \geq 0$是压缩强度，$\theta$是压缩方向。
压缩态的产生机制：
定义$SU(1,1)$生成元： \(\hat{K}_+ = \frac{1}{2}\hat{a}^{\dagger 2}, \quad \hat{K}_- = \frac{1}{2}\hat{a}^2, \quad \hat{K}_0 = \frac{1}{2}(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2})\)
对易关系： \([\hat{K}_-, \hat{K}_+] = 2\hat{K}_0, \quad [\hat{K}_0, \hat{K}_\pm] = \pm\hat{K}_\pm\)
压缩算符表示为： \(\hat{S}(\xi) = \exp(\xi^*\hat{K}_- - \xi\hat{K}_+)\)
利用$SU(1,1)$的BCH公式： \(\hat{S}(\xi) = \exp\left[\frac{\tanh r}{2}e^{-i\theta}\hat{a}^{\dagger 2}\right]\exp\left[-\ln(\cosh r)(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2})\right]\exp\left[-\frac{\tanh r}{2}e^{i\theta}\hat{a}^2\right]\)
这个分解对计算矩阵元很有用。
压缩真空态： \(|\xi\rangle = \hat{S}(\xi)|0\rangle\)
Fock基展开： \(|\xi\rangle = \frac{1}{\sqrt{\cosh r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sqrt{(2n)!}}{2^n n!}(-e^{i\theta}\tanh r)^n|2n\rangle\)
推导要点：
| $\hat{a}^2 | 0\rangle = 0$使得$\exp[-\frac{\tanh r}{2}e^{i\theta}\hat{a}^2] | 0\rangle = | 0\rangle$ |
物理特征：
一般的压缩相干态： \(|\alpha,\xi\rangle = \hat{D}(\alpha)\hat{S}(\xi)|0\rangle\)
注意算符顺序。另一种定义： \(|\alpha,\xi\rangle' = \hat{S}(\xi)\hat{D}(\beta)|0\rangle\)
其中$\beta$与$\alpha$的关系由Bogoliubov变换确定。
Bogoliubov变换： \(\hat{S}^\dagger(\xi)\hat{a}\hat{S}(\xi) = \mu\hat{a} - \nu\hat{a}^\dagger\) \(\hat{S}^\dagger(\xi)\hat{a}^\dagger\hat{S}(\xi) = \mu^*\hat{a}^\dagger - \nu^*\hat{a}\)
其中： \(\mu = \cosh r, \quad \nu = e^{i\theta}\sinh r\)
| 满足$ | \mu | ^2 - | \nu | ^2 = 1$（保持对易关系）。 |
双模压缩算符： \(\hat{S}_{12}(\xi) = \exp[\xi^*\hat{a}_1\hat{a}_2 - \xi\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2^\dagger]\)
双模压缩真空态（EPR态）： \(|\xi\rangle_{12} = \frac{1}{\cosh r}\sum_{n=0}^{\infty}(-e^{i\theta}\tanh r)^n|n\rangle_1|n\rangle_2\)
特性：
在压缩变换下： \(\hat{S}^\dagger(\xi)\hat{a}\hat{S}(\xi) = \cosh r \cdot \hat{a} - e^{i\theta}\sinh r \cdot \hat{a}^\dagger\)
定义旋转的正交分量： \(\hat{X}_\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}e^{-i\phi} + \hat{a}^\dagger e^{i\phi})\) \(\hat{P}_\phi = \frac{i}{\sqrt{2}}(\hat{a}^\dagger e^{i\phi} - \hat{a}e^{-i\phi})\)
对于压缩真空态，当$\phi = \theta/2$时： \((\Delta X_{\theta/2})^2 = \frac{1}{2}e^{-2r}, \quad (\Delta P_{\theta/2})^2 = \frac{1}{2}e^{2r}\)
不确定性乘积：$\Delta X_{\theta/2} \Delta P_{\theta/2} = \frac{1}{2}$（最小不确定性）
双模压缩算符： \(\hat{S}_{12}(\xi) = \exp[\xi^*\hat{a}_1\hat{a}_2 - \xi\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2^\dagger]\)
产生纠缠的双模压缩真空态： \(|\xi\rangle_{12} = \frac{1}{\cosh r}\sum_{n=0}^{\infty}(-e^{i\theta}\tanh r)^n|n\rangle_1|n\rangle_2\)
这是Einstein-Podolsky-Rosen (EPR)态的一种实现。
光子统计描述了在给定时间窗口内探测到特定数目光子的概率。对于一般的量子态$\hat{\rho}$，光子数分布为： \(P(n) = \langle n|\hat{\rho}|n\rangle = \text{Tr}(\hat{\rho}|n\rangle\langle n|)\)
光子数的各阶矩： \(\langle n^k\rangle = \text{Tr}(\hat{\rho}\hat{n}^k) = \sum_{n=0}^{\infty} n^k P(n)\)
特别重要的是前两阶矩：
利用对易关系$[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$： \(\langle n^2\rangle = \langle\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a}\rangle + \langle\hat{n}\rangle\)
阶乘矩在光子统计中特别有用： \(\langle n^{(k)}\rangle = \langle n(n-1)...(n-k+1)\rangle = \langle\hat{a}^{\dagger k}\hat{a}^k\rangle\)
例如：
| 对于相干态$ | \alpha\rangle$： | |||
| $$P(n) = \frac{ | \alpha | ^{2n}}{n!}e^{- | \alpha | ^2} = \frac{\bar{n}^n}{n!}e^{-\bar{n}}$$ |
| 其中$\bar{n} = | \alpha | ^2$。 |
统计特性：
热平衡光场的光子数分布： \(P(n) = \frac{\bar{n}^n}{(1+\bar{n})^{n+1}}\)
这是几何分布，源于黑体辐射的量子统计。
统计特性：
纯光子数态$|m\rangle$的分布： \(P(n) = \delta_{n,m}\)
统计特性：
压缩真空态的光子数分布： \(P(n) = \begin{cases} \frac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2}\frac{(\tanh r)^{2m}}{\cosh r} & n = 2m \\ 0 & n = 2m+1 \end{cases}\)
统计特性：
定义： \(Q = \frac{(\Delta n)^2 - \langle n\rangle}{\langle n\rangle} = \frac{\langle n^2\rangle - \langle n\rangle^2 - \langle n\rangle}{\langle n\rangle}\)
使用阶乘矩表示： \(Q = \frac{\langle n^{(2)}\rangle}{\langle n\rangle} - 1\)
物理分类：
定义： \(F = \frac{(\Delta n)^2}{\langle n\rangle} = Q + 1\)
物理意义：
对于大光子数，相干光的相对涨落按$1/\sqrt{\langle n\rangle}$减小。
聚束（Bunching）：
反聚束（Antibunching）：
设在时刻$t$探测到一个光子，则在$t+\tau$探测到另一个光子的条件概率：
对于聚束光： \(P(t+\tau|t) > P_{random}\)（高于随机情况）
对于反聚束光： \(P(t+\tau|t) < P_{random}\)（低于随机情况）
聚束/反聚束可通过$g^{(2)}(\tau)$定量描述：
使用单光子探测器（如APD、PMT）直接计数：
实际探测器的影响：
修正后的分布： \(P_{measured}(m) = \sum_{n=m}^{\infty} P_{true}(n)\binom{n}{m}\eta^m(1-\eta)^{n-m}\)
归一化二阶相干函数： \(g^{(2)}(\tau) = \frac{\langle\hat{a}^\dagger(t)\hat{a}^\dagger(t+\tau)\hat{a}(t+\tau)\hat{a}(t)\rangle}{\langle\hat{a}^\dagger(t)\hat{a}(t)\rangle^2}\)
对于平稳过程： \(g^{(2)}(\tau) = \frac{\langle\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger(\tau)\hat{a}(\tau)\hat{a}\rangle}{\langle\hat{n}\rangle^2}\)
与Mandel Q参数的关系： \(g^{(2)}(0) = 1 + \frac{Q}{\langle n\rangle}\)
相干光： \(g^{(2)}(0) = 1\)
热光（混沌光）： \(g^{(2)}(0) = 2\)
Fock态$|n\rangle$： \(g^{(2)}(0) = \frac{n(n-1)}{n^2} = 1 - \frac{1}{n}\)
特别地，单光子态：$g^{(2)}(0) = 0$
实验装置测量强度关联： \(G^{(2)}(\tau) = \langle I(t)I(t+\tau)\rangle\)
归一化： \(g^{(2)}(\tau) = \frac{G^{(2)}(\tau)}{\langle I\rangle^2}\)
经典光场的Cauchy-Schwarz不等式： \(g^{(2)}(0) \geq 1\)
量子光可以违反此界限： \(0 \leq g^{(2)}(0) < 1\) （反聚束，纯量子效应）
光电探测中的电流： \(I(t) = e\sum_{i}\delta(t-t_i)\)
其中$t_i$是光电子到达时间。
平均电流： \(\langle I\rangle = e\langle\dot{N}\rangle = e\eta P/\hbar\omega\)
其中$\eta$是量子效率，$P$是光功率。
散粒噪声的功率谱密度（白噪声）： \(S_I(f) = 2e\langle I\rangle\)
对于相干光，光子数涨落导致的电流噪声： \(\langle\Delta I^2\rangle = e^2\langle\Delta n^2\rangle/T^2 = e\langle I\rangle/T\)
光电探测的信噪比： \(\text{SNR} = \frac{\langle I\rangle}{\sqrt{\langle\Delta I^2\rangle}} = \sqrt{\frac{\eta P T}{\hbar\omega}}\)
这定义了散粒噪声极限。
相位测量的不确定性： \(\Delta\phi \geq \frac{1}{2\sqrt{\langle n\rangle}}\)
这是使用相干光的标准量子极限（SQL）。
使用压缩光可以突破标准量子极限：
振幅压缩：降低强度噪声 \((\Delta I)_{squeezed} = e^{-r}(\Delta I)_{coherent}\)
相位压缩：提高相位测量精度 \((\Delta\phi)_{squeezed} = e^{-r}(\Delta\phi)_{coherent}\)
成像系统的量子噪声限制：
本章介绍了量子光学的核心概念：
这些概念为理解量子成像、量子计算和未来光学技术奠定了基础。
| 27.1 证明相干态不正交：计算$\langle\alpha | \beta\rangle$并说明其物理意义。 |
提示：使用相干态的Fock基展开式。
27.2 对于热光场，证明$g^{(2)}(0) = 2$。假设热光服从玻色-爱因斯坦分布。
提示：计算$\langle n^2\rangle$和$\langle n\rangle$的关系。
27.3 计算压缩真空态的光子数分布$P(n)$。
提示：只有偶数光子数态有非零概率。
| 27.4 推导压缩相干态$ | \alpha,\xi\rangle = \hat{D}(\alpha)\hat{S}(\xi) | 0\rangle$的g^(2)(0)。 |
提示：先计算$\langle\hat{n}\rangle$和$\langle\hat{n}^2\rangle$。
27.5 考虑双模压缩真空态（参量下转换产生）。证明两个模式间存在完美关联。
提示：计算联合光子数分布$P(n_1,n_2)$。
27.6 设计一个实验方案，区分单光子源和衰减的相干光源。两者平均光子数都很小（$\langle n\rangle \ll 1$）。
提示：利用g^(2)(0)的差异。
27.7 在量子密钥分发(QKD)中，为什么单光子源比衰减激光更安全？从光子统计角度分析。
27.8 讨论如何将量子光学概念应用于计算机图形学的全局照明算法。考虑光子映射中的”光子”与量子光学中光子的本质区别。