本章建立了光场的数学框架，从几何光学的4D光场表示扩展到包含相干性和衍射的波动光学描述。我们将探讨光场的各种表示方法，特别是Wigner分布函数如何统一几何光学和波动光学。通过学习菲涅尔和夫琅禾费衍射理论，以及空间和时间相干性概念，我们为后续章节中的高级渲染技术奠定基础。
完成本章后，您将能够：
光场 $L(x, y, \theta, \varphi)$ 描述了空间中每个点 $(x, y)$ 沿每个方向 $(\theta, \varphi)$ 传播的光强度。在自由空间中，这个4D函数完全描述了光的分布。
对于计算机图形学，我们通常使用两平面参数化： \(L(u, v, s, t)\)
其中 $(u, v)$ 是第一个平面上的坐标，$(s, t)$ 是第二个平面上的坐标。光线由连接这两点的直线定义。
从光线参数 $(x, y, \theta, \varphi)$ 到两平面参数化的转换关系为： \(u = x - d_1 \tan \theta \cos \varphi\) \(v = y - d_1 \tan \theta \sin \varphi\) \(s = x + d_2 \tan \theta \cos \varphi\) \(t = y + d_2 \tan \theta \sin \varphi\)
其中 $d_1$ 和 $d_2$ 是到两个参考平面的距离。
光场可以通过场景的辐射度函数积分得到： \(L(u, v, s, t) = \int_{\mathcal{S}} \rho(\mathbf{p}) V(\mathbf{p}, \mathbf{r}_{u,v,s,t}) G(\mathbf{p}, \mathbf{r}_{u,v,s,t}) dA(\mathbf{p})\)
其中：
| $G$ 是几何项：$G = \frac{\cos \theta_i \cos \theta_o}{ | \mathbf{p} - \mathbf{r} | ^2}$ |
完整的5D光场表示为： \(L(x, y, \theta, \varphi, t, \lambda)\)
或在两平面参数化下： \(L(u, v, s, t, \tau, \lambda)\)
其中 $\tau$ 是时间延迟，$\lambda$ 是波长。这种表示对于分析时变场景和色散效应至关重要。
时间维度允许我们描述：
运动模糊：快门开启期间的积分 \(L_{blur}(u, v, s, t) = \frac{1}{T} \int_0^T L(u, v, s, t, \tau) d\tau\)
频闪效应：周期性照明下的采样 \(L_{strobe}(u, v, s, t, n) = L(u, v, s, t, nT_s)\)
光脉冲传播：超快成像中的时间分辨 \(L_{pulse}(u, v, s, t, \tau) = L_0(u, v, s, t) h(\tau - d/c)\)
其中 $h$ 是脉冲形状函数，$d$ 是传播距离。
波长维度捕获：
色散：不同波长的折射率差异 \(n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + ...\) (Cauchy公式)
光谱BRDF：材质的波长依赖反射 \(f_r(\mathbf{\omega}_i, \mathbf{\omega}_o, \lambda)\)
荧光效应：波长转换 \(L_o(\lambda_o) = \int f_{fluorescence}(\lambda_i, \lambda_o) L_i(\lambda_i) d\lambda_i\)
在无损介质中，光场满足亮度守恒： \(\frac{\partial L}{\partial s} = 0\)
这意味着沿光线的辐射亮度保持不变（在几何光学近似下）。
更一般地，光场在相空间中满足刘维尔定理： \(\frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial t} + \{\mathcal{H}, L\} = 0\)
其中 ${\cdot,\cdot}$ 是泊松括号，$\mathcal{H}$ 是哈密顿量。
泊松括号的展开形式： \(\{f, g\} = \sum_i \left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)\)
对于自由传播： \(\mathcal{H} = c||\mathbf{k}|| = c\sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2}\)
运动方程通过哈密顿正则方程给出： \(\frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}, \quad \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}\)
在傍轴近似下（$k_z \gg k_x, k_y$）： \(\mathcal{H} \approx ck_z + \frac{c}{2k_z}(k_x^2 + k_y^2)\)
这导出了光场传播的基本方程： \(L(u', v', s', t') = L(u, v, s, t)\)
当光线从 $(u,v)$ 传播到 $(s’,t’)$ 时。
在哈密顿光学框架下，光场在相空间中的演化保持体积不变： \(\iiint\int L(x, y, p_x, p_y) dx dy dp_x dp_y = \text{const}\)
其中 $(p_x, p_y) = (n\sin\theta_x, n\sin\theta_y)$ 是光学动量。
这一守恒律导致了重要的光学不变量： \(n^2 A \Omega = \text{const}\)
其中 $A$ 是光束截面积，$\Omega$ 是立体角，$n$ 是折射率。这就是著名的étendue（光学扩展量）守恒。
推导过程：考虑光束通过光学系统，入射和出射参数满足： \(n_1^2 A_1 \Omega_1 = n_2^2 A_2 \Omega_2\)
对于小立体角：$\Omega = \pi \sin^2\theta_{max}$
这导出了数值孔径的不变性： \(n_1 A_1 \text{NA}_1^2 = n_2 A_2 \text{NA}_2^2\)
其中 $\text{NA} = n \sin \theta$ 是数值孔径。
Chai等人证明了光场的采样要求与场景深度相关： \(\Delta u \cdot \Delta s \geq \frac{\lambda(z_{max} - z_{min})}{z_{min}}\)
这是光场相机设计的基础约束。
更精确的分析表明，光场的频谱支撑区域是一个双锥： \(\Omega_{LF} = \{(f_u, f_v, f_s, f_t) : |f_s| \leq \frac{z_{max}}{\lambda}|f_u|, |f_t| \leq \frac{z_{max}}{\lambda}|f_v|\}\)
这导出了最优采样策略：
考虑相机的运动，光场经历仿射变换： \(L'(u', v', s', t') = L(Au + Bs + E, Cv + Dt + F, s, t)\)
其中变换矩阵编码了相机的平移和旋转。
完整的4D变换矩阵形式： \(\begin{pmatrix} u' \\ v' \\ s' \\ t' \end{pmatrix} = \mathbf{T} \begin{pmatrix} u \\ v \\ s \\ t \end{pmatrix} + \mathbf{d}\)
对于纯平移 $(t_x, t_y, t_z)$： \(\begin{pmatrix} u' \\ v' \\ s' \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -t_z/z_0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -t_z/z_0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ s \\ t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x \\ t_y \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
对于旋转角度 $\theta$（绕 z 轴）： \(\mathbf{T}_{rot} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\)
从4D光场生成2D图像的过程是一个投影操作：
针孔相机： \(I(x, y) = L(x, y, x, y)\) 选择共线的 $(u, v) = (s, t)$
有限孔径相机： \(I(x, y) = \int\int_{aperture} L(u, v, x, y) A(u, v) du dv\) 其中 $A(u, v)$ 是孔径函数
对于圆形孔径：$A(u, v) = \text{circ}(\sqrt{u^2 + v^2}/R)$
景深公式： \(\text{DOF} = \frac{2Nc(z_f^2 - z_n^2)}{f^2}\) 其中 $N$ 是 f 数，$c$ 是混淆圆直径，$z_f, z_n$ 是远近焦平面。
光场相机（聚焦后）： \(I(x, y) = \int\int L(u, v, u + \alpha(x-u), v + \alpha(y-v)) du dv\) 其中 $\alpha$ 控制焦平面深度
焦平面深度与 $\alpha$ 的关系： \(z_{focus} = \frac{z_{uv} \cdot z_{st}}{z_{st} - \alpha(z_{st} - z_{uv})}\)
积分成像（多视点）： \(I_n(x, y) = L(u_n, v_n, x, y)\) 其中 $(u_n, v_n)$ 是第 n 个视点位置
聚焦对应于光场的4D剪切： \(L_{focused}(u, v, s, t) = L(u, v, s + \alpha u, t + \alpha v)\)
剪切矩阵表示： \(\mathbf{S}_\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \alpha & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
在频域中，这是一个相位调制： \(\tilde{L}_{focused}(f_u, f_v, f_s, f_t) = \tilde{L}(f_u - \alpha f_s, f_v - \alpha f_t, f_s, f_t)\)
剪切定理的一般形式： \(\mathcal{F}\{f(x - \alpha y, y)\} = e^{-2\pi i \alpha f_x f_y} \tilde{f}(f_x, f_y)\)
对于大多数真实场景，光场具有固有的2D结构（表面约束）： \(L(u, v, s, t) = \sum_i R_i(u, v, s, t) \delta(d_i(u, v, s, t))\)
其中 $d_i$ 是到第i个表面的符号距离函数，$R_i$ 是表面的反射特性。
利用场景的低维结构，光场可以分解为： \(L(u, v, s, t) \approx \sum_{k=1}^r \sigma_k U_k(u, v) V_k(s, t)\)
其中 $r$ 是有效秩，通常 $r \ll \min(UV, ST)$。
这种分解的误差界为： \(||L - L_r||_F \leq \sqrt{\sum_{k=r+1}^{\min(UV,ST)} \sigma_k^2}\)
在频域中，光场能量集中在低频区域。定义稀疏度： \(\text{Sparsity}(L) = \frac{||\tilde{L}||_0}{||\tilde{L}||_2}\)
对于典型场景，超过99%的能量集中在不到1%的频率分量中。
Adelson和Bergen提出的全光函数 $P(x, y, z, \theta, \varphi, \lambda, t)$ 描述了观察者在位置 $(x, y, z)$、时间 $t$、观察方向 $(\theta, \varphi)$ 和波长 $\lambda$ 下感知的光强度。
这个函数可以分解为： \(P(x, y, z, \theta, \varphi, \lambda, t) = \int L(x', y', z', \theta', \varphi', \lambda, t') \delta(\text{光线约束}) dx'dy'dz'd\theta'd\varphi'\)
光线约束的具体形式： \(\delta(\text{光线约束}) = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}' - s\mathbf{\omega}) \delta(\mathbf{\omega} - \mathbf{\omega}')\)
其中 $s$ 是从观察点到场景点的距离。
全光函数捕获了视觉世界的完整信息：
从信息论角度，全光函数包含了产生任何可能视觉体验所需的所有信息。
维度分析：
考虑场景中的光传播，全光函数可以表示为： \(P(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}, \lambda, t) = \int_0^\infty L(\mathbf{x} - s\mathbf{\omega}, \mathbf{\omega}, \lambda, t - s/c) e^{-\int_0^s \sigma_t(\mathbf{x} - s'\mathbf{\omega}, \lambda) ds'} ds\)
其中：
对于散射介质，需要加入内散射项： \(P(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}, \lambda, t) = \int_0^\infty \left[L_e + \int_{4\pi} f_p(\mathbf{\omega}', \mathbf{\omega}) L_{in}(\mathbf{\omega}') d\mathbf{\omega}'\right] T(s) ds\)
其中：
在实际应用中，我们通过各种假设降低全光函数的维度：
静态场景 (6D)：消除 $t$ \(P_{static}(x, y, z, \theta, \varphi, \lambda) = P(x, y, z, \theta, \varphi, \lambda, t_0)\)
单色光 (6D)：消除 $\lambda$
\(P_{mono}(x, y, z, \theta, \varphi, t) = \int S(\lambda) P(x, y, z, \theta, \varphi, \lambda, t) d\lambda\)
其中 $S(\lambda)$ 是光谱灵敏度函数。
自由空间 (4D)：降至4D光场 \(L(u, v, s, t) = P(x(u,s), y(v,t), z, \theta(u,s), \varphi(v,t))\)
在无遮挡空间中，光线参数化简化了表示。
平面约束 (3D)：相机在平面上移动 \(P_{planar}(x, y, \theta, \varphi) = P(x, y, z_0, \theta, \varphi)\)
不同渲染技术对应不同的全光函数采样：
| 技术 | 采样维度 | 全光函数约束 |
|---|---|---|
| 光线追踪 | 2D (像素) | 固定相机位置 |
| 光场渲染 | 4D | 自由空间假设 |
| 体积渲染 | 5D | 包含空间位置 |
| 时空渲染 | 6D | 包含时间维度 |
全光函数与渲染方程通过以下关系连接： \(L_o(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}_o) = L_e(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}_o) + \int_\Omega f_r(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}_i, \mathbf{\omega}_o) L_i(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}_i) (\mathbf{\omega}_i \cdot \mathbf{n}) d\mathbf{\omega}_i\)
其中光场 $L$ 对应于入射和出射辐射亮度。
给定全光函数 $P$，表面点 $\mathbf{x}$ 的入射辐射度为： \(L_i(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}_i) = P(\mathbf{x}, -\mathbf{\omega}_i, \lambda, t)\)
出射辐射度通过BRDF积分得到： \(L_o(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}_o) = L_e(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}_o) + \int_\Omega f_r(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}_i, \mathbf{\omega}_o) P(\mathbf{x}, -\mathbf{\omega}_i, \lambda, t) (\mathbf{\omega}_i \cdot \mathbf{n}) d\mathbf{\omega}_i\)
这建立了局部着色模型与全局光传输的联系。
将渲染方程递归展开，得到路径积分： \(L(\mathbf{x}_0 \to \mathbf{x}_1) = \sum_{n=1}^\infty \int_{\mathcal{P}_n} L_e(\mathbf{x}_n \to \mathbf{x}_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1} f_r(\mathbf{x}_{i+1} \to \mathbf{x}_i \to \mathbf{x}_{i-1}) G(\mathbf{x}_i \leftrightarrow \mathbf{x}_{i+1}) d\mathcal{P}_n\)
其中 $\mathcal{P}_n$ 是长度为 n 的路径空间。
相机传感器的响应是全光函数的加权积分： \(I_{pixel} = \int_A \int_\Omega \int_T \int_\Lambda W(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}, t, \lambda) P(\mathbf{x}, \mathbf{\omega}, \lambda, t) d\lambda dt d\mathbf{\omega} dA\)
其中 $W$ 是像素的响应函数，包含：
NeRF本质上是学习场景的5D全光函数近似： \(F_\theta: (x, y, z, \theta, \varphi) \to (r, g, b, \sigma)\)
其中神经网络 $F_\theta$ 隐式编码了全光函数。
训练过程可以表述为最小化重建误差： \(\mathcal{L} = \sum_{rays} ||C(r) - \hat{C}(r)||^2\)
其中 $\hat{C}(r)$ 是沿光线 $r$ 的体积渲染： \(\hat{C}(r) = \int_0^\infty T(t) \sigma(r(t)) c(r(t), d) dt\)
透射率 $T(t) = \exp(-\int_0^t \sigma(r(s)) ds)$ 编码了遮挡关系。
光场相机直接采样4D光场： \(L_{captured}(u, v, s, t) = \int W_{microlens}(u, v, s, t) L_{scene}(u, v, s, t) dudvdsdt\)
微透镜阵列实现了空间-角度的联合采样。
设计参数的权衡：
光场相机的调制传递函数（MTF）： \(\text{MTF}(f_x, f_\theta) = \text{sinc}(d f_x) \cdot \text{sinc}(p f_\theta/f)\)
许多计算摄影技术可以理解为全光函数的特殊采样：
HDR成像：扩展动态范围的$\lambda$维采样 \(P_{HDR}(x, y, \theta, \varphi) = \sum_i w_i(L) P(x, y, \theta, \varphi, t_i)\) 其中 $w_i$ 是基于亮度的权重函数
光场显微镜：高分辨率的4D光场采样 \(P_{micro}(x, y, z, \theta, \varphi) = \int \text{PSF}(x', y', z') P(x-x', y-y', z-z', \theta, \varphi) dx'dy'dz'\)
飞行时间成像：利用时间维度测量深度 \(d(x, y) = \frac{c}{2} \arg\max_\tau \{P(x, y, \tau) \star h(\tau)\}\) 其中 $h(\tau)$ 是发射脉冲形状
全光函数的信息容量受物理约束限制： \(I_{max} = \frac{V_{scene} \cdot \Omega_{view} \cdot T \cdot B}{\lambda^3 \cdot c}\)
其中：
对于典型室内场景（10m³，4$\pi$立体角，1秒，可见光谱）： \(I_{max} \approx 10^{25} \text{ bits}\)
真实场景的全光函数具有大量冗余：
有效压缩比可达 $10^6:1$ 而不显著损失感知质量。
根据率失真理论，给定失真容限 $D$，所需采样率： \(R(D) \geq H(P) - H(D)\)
其中 $H(P)$ 是全光函数的熵，$H(D)$ 是容许失真的熵。
这导出了自适应采样策略：
对于光场 $U(x)$，其Wigner分布函数定义为： \(W(x, k) = \int U^*(x - \xi/2) U(x + \xi/2) e^{-ik\xi} d\xi\)
其中 $x$ 是位置，$k$ 是空间频率（与传播角度相关）。
等价的频域表示： \(W(x, k) = \frac{1}{2\pi} \int \tilde{U}^*(k - \kappa/2) \tilde{U}(k + \kappa/2) e^{ix\kappa} d\kappa\)
对于2D光场，Wigner分布推广为： \(W(x, y, k_x, k_y) = \int\int U^*(x - \xi_x/2, y - \xi_y/2) U(x + \xi_x/2, y + \xi_y/2) e^{-i(k_x \xi_x + k_y \xi_y)} d\xi_x d\xi_y\)
Wigner分布最初在量子力学中引入，用于相空间中的准概率分布。在光学中：
对应关系： \(W_{quantum}(x, p) \leftrightarrow W_{optics}(x, k)\) $[x, p] = i\hbar \leftrightarrow \Delta x \Delta k \geq 1/2$
实值性：$W(x, k) \in \mathbb{R}$，即使对复光场 证明：$W^*(x, k) = W(x, k)$
边缘分布： \(\int W(x, k) dk = |U(x)|^2\) （强度分布） \(\int W(x, k) dx = |\tilde{U}(k)|^2\) （角谱分布）
非正定性：$W(x, k)$ 可以为负，因此是准概率分布 负值区域表示量子/波动干涉效应
| 归一化：$$\int\int W(x, k) dx dk = \int | U(x) | ^2 dx$$ （总功率） |
平移不变性： 若 $U’(x) = U(x - x_0)$，则 $W’(x, k) = W(x - x_0, k)$
调制性质： 若 $U’(x) = U(x)e^{ik_0 x}$，则 $W’(x, k) = W(x, k - k_0)$
Wigner分布提供了光场在位置-角度相空间中的表示。对于4D光场，我们有： \(W(x, y, k_x, k_y) = \int\int L(x - \xi_x/2, y - \xi_y/2, x + \xi_x/2, y + \xi_y/2) e^{-i(k_x \xi_x + k_y \xi_y)} d\xi_x d\xi_y\)
在相空间 $(x, k)$ 中：
根据相空间不确定性原理： \(\Delta x \cdot \Delta k \geq \frac{1}{2}\)
这限制了光学系统的信息容量。对于有限孔径系统： \(N_{DOF} \approx \frac{A_{object} \cdot \Omega_{NA}}{\lambda^2}\)
其中 $A_{object}$ 是物体面积，$\Omega_{NA}$ 是数值孔径对应的立体角。
通过自由空间传播距离 $z$ 后，Wigner分布变换为： \(W'(x, k) = W(x - zk/k_0, k)\)
这是一个相空间中的剪切变换，其中 $k_0 = 2\pi/\lambda$。
对于一般的傍轴光学系统，Wigner分布通过线性正则变换： \(\begin{pmatrix} x' \\ k' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ k \end{pmatrix}\)
其中 ABCD 是光学系统的传输矩阵： \(\begin{pmatrix} x' \\ k' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ k \end{pmatrix}\)
常见光学元件的ABCD矩阵：
Wigner分布在分数傅里叶变换下旋转角度 $\alpha$： \(W_\alpha(x_\alpha, k_\alpha) = W(x\cos \alpha - k\sin \alpha/k_0, k_0(x\sin \alpha + k\cos \alpha/k_0))\)
这提供了相空间中的统一描述：
在几何光学极限下，Wigner分布退化为光线的相空间表示： \(W(x, k) \to \sum_i I_i \delta(x - x_i) \delta(k - k_i)\)
考虑高斯光束的Wigner分布： \(W(x, k) = \frac{1}{\pi} \exp\left[-\frac{x^2}{w^2} - \frac{k^2w^2}{k_0^2}\right]\)
其中 $w$ 是束腰半径。当 $w \gg \lambda$ 时：
在光线光学中，Wigner分布简化为： \(W_{ray}(x, \theta) = \sum_i I_i(s) \delta(x - x_i(s)) \delta(\theta - \theta_i(s))\)
其中 $s$ 是沿光线的参数。这导出了：
| 程函方程：$ | \nabla S | ^2 = n^2$ |
从光场$U(x)$计算Wigner分布：
1. 对每个位置x和频率k：
- 计算U*(x - ξ/2)U(x + ξ/2)
- 乘以exp(-ikξ)
- 对ξ积分
2. 处理边界效应（零填充或周期延拓）
利用Wigner分布与模糊函数的关系： \(W(x, k) = \mathcal{F}_\xi\{U^*(x - \xi/2)U(x + \xi/2)\}\)
计算复杂度：O(N²log N)，其中N是采样点数。
从多个投影重建Wigner分布： \(R_\theta(t) = \int W(t\cos \theta - s\sin \theta, t\sin \theta + s\cos \theta) ds\)
这是Radon变换，可用于从强度测量重建相位信息。
从波动方程出发，光场传播满足： \(U(P) = \frac{1}{i\lambda} \int\int_\Sigma U(Q) \frac{e^{ikr}}{r} \cos(\mathbf{n}, \mathbf{r}) d\Sigma\)
| 其中 $P$ 是观察点，$Q$ 是孔径上的点，$r = | P - Q | $ 是它们之间的距离。 |
惠更斯原理的数学表述：
倾斜因子的物理意义： \(K(\chi) = \frac{1 + \cos \chi}{2}\) 其中 $\chi$ 是法向与观察方向的夹角。
从标量波动方程出发： \(\nabla^2 U + k^2 U = 0\)
亥姆霍兹方程的格林函数解： \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\)
应用格林定理，得到基尔霍夫积分： \(U(P) = \frac{1}{4\pi} \int\int_\Sigma \left[U\frac{\partial G}{\partial n} - G\frac{\partial U}{\partial n}\right] d\Sigma\)
展开后： \(U(P) = \frac{1}{i\lambda} \int\int_\Sigma U(Q) \frac{e^{ikr}}{r} \frac{1 + \cos \chi}{2} d\Sigma\)
基尔霍夫边界条件（在孔径$\Sigma$上）：
第一类Rayleigh-Sommerfeld公式（更精确）： \(U(P) = \frac{1}{i\lambda} \int\int_\Sigma U(Q) \frac{e^{ikr}}{r} \cos(\mathbf{n}, \mathbf{r}) d\Sigma\)
推导使用了更合理的边界条件：
第二类公式： \(U(P) = -\frac{1}{i\lambda} \int\int_\Sigma \frac{\partial U}{\partial n} \frac{e^{ikr}}{r} d\Sigma\)
两种公式的选择：
在菲涅尔近似下（近场），传播核为： \(h(x, y; x', y') = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \exp\left[\frac{ik}{2z}[(x-x')^2 + (y-y')^2]\right]\)
衍射场为： \(U(x, y) = \int\int U_0(x', y') h(x, y; x', y') dx' dy'\)
菲涅尔近似成立的条件： \(z^3 \gg \frac{\pi}{4\lambda}[(x-x')^2 + (y-y')^2]_{max}^2\)
这确保了相位误差小于 $\pi/8$。
考虑半径为 $a$ 的圆孔，入射平面波。轴上场分布： \(U(0, 0, z) = U_0 \left[1 - e^{ika^2/2z}\right]\)
强度分布： \(I(0, 0, z) = 4I_0 \sin^2\left(\frac{ka^2}{4z}\right)\)
菲涅尔区数：$N = \frac{a^2}{\lambda z}$
当 $N$ 为奇数时，中心为亮点；$N$ 为偶数时，中心为暗点。
半平面屏的菲涅尔衍射，使用菲涅尔积分： \(U(x) = \frac{1+i}{2} \left[C(v) + iS(v)\right]\)
其中菲涅尔参数：$v = x\sqrt{\frac{2}{\lambda z}}$
菲涅尔积分： \(C(v) = \int_0^v \cos\left(\frac{\pi t^2}{2}\right) dt\) \(S(v) = \int_0^v \sin\left(\frac{\pi t^2}{2}\right) dt\)
菲涅尔波带片的透过率函数： \(t(r) = \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi r^2}{\lambda f}\right)\right]\)
这相当于一个衍射透镜，焦距为 $f$。主焦点强度： \(I_{focus} = \left(\frac{\pi a^2}{\lambda f}\right)^2 I_0\)
在远场（夫琅禾费区域），衍射简化为傅里叶变换： \(U(x, y) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} e^{ik(x^2+y^2)/2z} \mathcal{F}\{U_0\}\left(\frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z}\right)\)
其中 $\mathcal{F}$ 表示傅里叶变换。
夫琅禾费近似要求： \(z \gg \frac{k(x'^2 + y'^2)_{max}}{2} = \frac{\pi a^2}{\lambda}\)
这确保孔径上的二次相位项可忽略。
矩形孔径 (宽度 $a \times b$) 的衍射图样： \(U(x, y) = U_0 ab \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \text{sinc}\left(\frac{ax}{\lambda z}\right) \text{sinc}\left(\frac{by}{\lambda z}\right)\)
其中 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。
强度分布： \(I(x, y) = I_0 \left(\frac{ab}{\lambda z}\right)^2 \text{sinc}^2\left(\frac{ax}{\lambda z}\right) \text{sinc}^2\left(\frac{by}{\lambda z}\right)\)
第一暗环位置：$x = \pm\frac{\lambda z}{a}$，$y = \pm\frac{\lambda z}{b}$
圆孔（半径 $a$）的衍射： \(U(r, \theta) = U_0 \frac{\pi a^2}{i\lambda z} e^{ikz} \frac{2J_1(kar/z)}{kar/z}\)
其中 $J_1$ 是一阶贝塞尔函数。
艾里斑特征：
N 条缝的光栅（缝宽 $a$，周期 $d$）： \(I(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin(N\pi d\sin \theta/\lambda)}{N\sin(\pi d\sin \theta/\lambda)}\right)^2 \left(\frac{\sin(\pi a\sin \theta/\lambda)}{\pi a\sin \theta/\lambda}\right)^2\)
主极大位置（光栅方程）：$d\sin \theta_m = m\lambda$
分辨本领：$R = mN$（$m$ 是衍射级次）
菲涅尔数 $F = a^2/(\lambda z)$ 决定了使用哪种近似：
空间采样间隔：
避免混叠的条件： \(\Delta x_{aperture} \times \Delta x_{observation} \leq \frac{\lambda z}{N}\)
两点间的互相干函数定义为： \(\Gamma(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \tau) = \langle U^*(\mathbf{r}_1, t) U(\mathbf{r}_2, t + \tau) \rangle\)
归一化后得到复相干度： \(\gamma(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \tau) = \frac{\Gamma(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \tau)}{\sqrt{I(\mathbf{r}_1)I(\mathbf{r}_2)}}\)
时间相干性由相干时间 $\tau_c$ 和相干长度 $l_c = c\tau_c$ 表征。对于光谱宽度 $\Delta\nu$ 的光源： \(\tau_c \approx \frac{1}{\Delta\nu}\)
时间相干性影响干涉条纹的可见度： \(V = |\gamma(\tau)| = |\mathcal{F}\{S(\nu)\}|\)
其中 $S(\nu)$ 是归一化光谱密度。
空间相干性由相干面积表征。根据van Cittert-Zernike定理，扩展非相干源产生的场的空间相干性为： \(\gamma(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \frac{\int\int I(\xi, \eta) e^{ik[(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\cdot(\xi,\eta)]/z} d\xi d\eta}{\int\int I(\xi, \eta) d\xi d\eta}\)
对于均匀圆形源，相干半径为： \(\rho_c \approx 1.22 \frac{\lambda z}{D}\)
其中 $D$ 是源的直径，$z$ 是观察距离。
在计算机图形学中，相干性影响：
本章建立了光场理论的数学基础，主要概念包括：
这些概念为理解现代渲染技术（如光场相机、全息显示）提供了理论基础。
练习 2.1：证明两平面参数化的4D光场在自由空间传播时满足亮度守恒。
提示：使用光线的参数方程和雅可比行列式。
练习 2.2：对于直径 $D = 1 \text{ mm}$ 的圆形非相干光源，波长 $\lambda = 500 \text{ nm}$，计算在距离 $z = 1 \text{ m}$ 处的空间相干半径。
提示：使用van Cittert-Zernike定理的结果。
练习 2.3：推导菲涅尔数 $F = 1$ 时的衍射场强度分布。
提示：考虑圆孔的菲涅尔衍射积分。
练习 2.4：推导Wigner分布函数通过薄透镜的变换规律。透镜焦距为 $f$。
提示：薄透镜相位变换为 $\exp[-ik(x^2 + y^2)/2f]$。
练习 2.5：证明部分相干光的4D光场表示需要考虑互相干函数 $\Gamma(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)$。推导相应的广义光场方程。
提示：从统计光学出发，考虑场的二阶相关。
练习 2.6：设计一个算法，从多视角图像重建4D光场。分析采样要求和重建误差。
提示：考虑极线几何约束和频域分析。
练习 2.7：讨论如何将传统光线追踪算法扩展以处理波动光学效应。考虑计算复杂度和精度权衡。
提示：思考混合几何-波动方法。
练习 2.8：探讨机器学习如何用于光场压缩和重建。设计一个网络架构并分析其理论基础。
提示：考虑光场的低秩结构和稀疏性。
错误：直接在 $(x, y, \theta, \varphi)$ 和 $(u, v, s, t)$ 之间转换
正确：需要考虑坐标系和采样结构的差异
错误：假设所有光源都能产生稳定干涉
正确：只有相干长度内的光程差才能产生干涉
错误：在近场直接使用夫琅禾费公式
正确：检查菲涅尔数F，选择合适的近似
错误：将$W(x, k)$解释为位置x处沿方向k的强度
正确：W可以为负，是准概率分布
错误：使用稀疏相机阵列重建光场
正确：满足角度和空间Nyquist条件