第六章：偏微分方程系统

┌────────────────────────────────────────────────────┐
│                  PDE建模框架                        │
│                                                     │
│   离散世界                    连续极限              │
│   N个商圈      ──────────►   需求密度场 ρ(x,t)     │
│   订单流量                    通量场 J(x,t)        │
│   价格点                      价格场 p(x,t)        │
│                                                     │
│   差分方程     ──────────►   偏微分方程            │
│   Δ订单/Δt                   ∂ρ/∂t + ∇·J = S      │
└────────────────────────────────────────────────────┘

ρ(x,t) = lim(Δx→0) [商圈内订单数]/[商圈面积]

∂ρ/∂t = D∇²ρ + S(x,t)

其中：

- ρ(x,t)：用户密度或市场渗透率
- D：扩散系数（信息传播速度）
- S(x,t)：源项（营销投入、自然增长）

┌──────────────────────────────────────────┐
│     奶茶店在城市中的扩散过程              │
│                                           │
│ t=0（初始）    t=3月      t=6月          │
│  ·              ·*·        ·*****·       │
│                 ***        *******        │
│                 ·*·        *******        │
│                            ·*****·        │
│                                           │
│ · 低密度  * 中密度  █ 高密度             │
└──────────────────────────────────────────┘

∂ρ/∂t + ∇·(vρ) = D∇²ρ + S

其中v(x,t)是速度场，代表：

- 人口迁移方向
- 消费升级趋势  
- 竞争压力梯度

# 伪代码：有限差分法求解扩散方程
for t in time_steps:
    for i in range(1, nx-1):
        for j in range(1, ny-1):
            ρ_new[i,j] = ρ[i,j] + dt * D * (
                (ρ[i+1,j] + ρ[i-1,j] - 2*ρ[i,j])/dx² +
                (ρ[i,j+1] + ρ[i,j-1] - 2*ρ[i,j])/dy²
            ) + dt * S[i,j]

∂u/∂t = D_u∇²u + r_u·u(1 - u/K_u) - a·u·v
∂v/∂t = D_v∇²v + r_v·v(1 - v/K_v) - b·u·v

其中：

- u(x,t), v(x,t)：两平台的市场份额密度
- r_u, r_v：内生增长率（品牌力）
- K_u, K_v：承载容量（市场上限）
- a, b：竞争系数
- D_u, D_v：扩散系数（扩张速度）

线性稳定性分析：
设 u = u* + δu·exp(ikx + λt)
   v = v* + δv·exp(ikx + λt)

图灵不稳定条件：

- 无扩散时稳定：Tr(J) < 0, Det(J) > 0
- 有扩散时失稳：存在k使得 λ(k) > 0

┌─────────────────────────────────────────┐
│      图灵斑图在城市商业分布中的体现      │
│                                          │
│  初始（均匀）     →    最终（斑图）      │
│  ░░░░░░░░░░            ██░░██░░██        │
│  ░░░░░░░░░░            ░░██░░██░░        │
│  ░░░░░░░░░░            ██░░██░░██        │
│                                          │
│  ░ 住宅区  ██ 商业中心                   │
└─────────────────────────────────────────┐

∂u/∂t = D∇²u + ru(1-u)

行波解：u(x,t) = U(x - ct)
波速：c = 2√(Dr) （最小波速）

∂u/∂t = D∇²u + f(u) + ε∫K(x-y)u(y,t)dy

其中：

- f(u)：本地动力学（S型增长）
- K(x-y)：影响力核函数
- ε：网络效应强度

目标：最大化总收益
J = ∫₀ᵀ∫_Ω [R(ρ,u) - C(u)] dx dt + ∫_Ω Φ(ρ(T)) dx

状态方程（需求演化）：
∂ρ/∂t = D∇²ρ + f(ρ,u)

控制变量：
u(x,t) = 补贴强度

约束：
0 ≤ u ≤ u_max （预算约束）

-∂V/∂t = max_u {R(ρ,u) - C(u) + ∇V·(D∇ρ) + (∂V/∂ρ)f(ρ,u)}

边界条件：V(x,T,ρ) = Φ(ρ)

状态变量：

- ρ_d(x,t)：需求密度
- ρ_s(x,t)：供给密度（骑手）

控制：p(x,t) = 动态价格系数

目标函数：
max ∫₀ᵀ∫_Ω [p·min(ρ_d,ρ_s) - γ(p-1)²] dx dt
              收益项        价格波动惩罚

粘性上解：-∂v/∂t + H(x,∇v,D²v) ≤ 0
粘性下解：-∂w/∂t + H(x,∇w,D²w) ≥ 0
粘性解：既是上解又是下解

┌─────────────────────────────────────────────┐
│          HJB方法优化骑手调度                 │
│                                              │
│ 状态：各区域骑手密度 ρ(x,t)                 │
│ 控制：调度激励 u(x,t)                        │
│                                              │
│ 优化前（自然分布）    优化后（HJB控制）      │
│ ░░░░████░░░░         ░░████████░░           │
│ ░░████████░░         ████████████           │
│ ████░░░░████   →     ████████████           │
│ ████░░░░░░░░         ░░████████░░           │
│                                              │
│ 效果：配送时间↓15%，空驶率↓20%              │
└─────────────────────────────────────────────┘

已知：观测数据 ρ(x_i, t_j) 在离散点
求解：PDE形式 ∂ρ/∂t = L[ρ] + f(ρ)

其中L是线性算子（如∇²），f是非线性项

min_θ Σᵢⱼ |∂ρ/∂t|ᵢⱼ - L_θ[ρ]ᵢⱼ - f_θ(ρᵢⱼ)|²

其中θ是待估参数（如扩散系数D）

步骤1：构建候选函数库
Θ = [1, ρ, ρ², ρ³, ∇ρ, ∇²ρ, ρ∇ρ, ...]

步骤2：稀疏回归
∂ρ/∂t = Θ·ξ
其中ξ是稀疏系数向量

步骤3：阈值筛选
保留|ξᵢ| > λ的项

∂ρ/∂t = 0.8∇²ρ + 2.1ρ(1 - ρ/100) - 0.3ρ²
        扩散项    逻辑增长项      竞争项

解释：

- 扩散系数0.8：口碑传播速度
- 承载力100：市场饱和密度
- 竞争系数0.3：平台间竞争强度

损失函数 = 数据损失 + 物理损失 + 边界损失

L = Σᵢ|NN(xᵢ,tᵢ) - ρᵢ|² 

    + λ₁Σⱼ|∂NN/∂t - L[NN]|²ⱼ
    + λ₂Σₖ|边界条件|²ₖ

┌────────────────────────────────────┐
│        PINN数据补全示例             │
│                                     │
│ 观测数据（稀疏）  →  PINN重构       │
│ · · █ · ·         ░░░██░░░         │
│ · █ · █ ·         ░██████░         │
│ █ · · · █    →    ████████         │
│ · █ · █ ·         ░██████░         │
│ · · █ · ·         ░░░██░░░         │
│                                     │
│ · 缺失  █ 观测  ░ 重构              │
└────────────────────────────────────┘

后验分布：P(θ|D) ∝ P(D|θ)P(θ)

其中：

- P(D|θ)：似然函数（数据拟合）
- P(θ)：先验分布（领域知识）
- P(θ|D)：后验分布（更新的信念）

# 伪代码：Metropolis-Hastings算法
for iteration in range(N):
    θ_new = θ_old + normal(0, σ)

    # 计算接受概率
    α = min(1, P(D|θ_new)P(θ_new) / P(D|θ_old)P(θ_old))

    if random() < α:
        θ_old = θ_new

# 得到参数的后验分布样本

股价动态：dS = μSdt + σSdW
其中：

- S：股价
- μ：期望收益率
- σ：波动率
- dW：布朗运动增量

∂V/∂t + (1/2)σ²S²∂²V/∂S² + rS∂V/∂S - rV = 0

边界条件（欧式看涨期权）：
V(S,T) = max(S-K, 0)

∂v/∂τ = ∂²v/∂x²

┌─────────────────────────────────────┐
│      知识迁移路径                    │
│                                      │
│  物理学         金融学         经济学 │
│  热传导  ───►  期权定价  ───►  需求扩散│
│  扩散方程       BS模型         市场渗透│
│                                      │
└─────────────────────────────────────┘

模型预测：单日跌幅>20%的概率 ≈ 10^(-160)
实际发生：1987年10月19日，道指跌22.6%

反思：

- 极端事件的概率被严重低估
- 模型本身会改变市场行为
- 需要考虑"模型风险"

dS/S = μdt + σdW + JdN

其中：

- J：跳跃幅度（如突发事件影响）
- dN：泊松过程（跳跃发生）

D^α f(t) = (1/Γ(n-α)) d^n/dt^n ∫₀ᵗ f(τ)/(t-τ)^(α-n+1) dτ

其中：

- α：分数阶数（0 < α < 1表示次扩散）
- Γ：伽马函数
- n = ⌈α⌉（向上取整）

ᶜD^α f(t) = (1/Γ(n-α)) ∫₀ᵗ f^(n)(τ)/(t-τ)^(α-n+1) dτ

∂^α ρ/∂t^α = D∇²ρ + S(x,t)   (0 < α < 1)

物理含义：

- α = 1：正常扩散（经典）
- α < 1：次扩散（被困扩散）
- 应用：新用户激活缓慢、习惯养成过程

∂ρ/∂t = D(-∇²)^(β/2) ρ + S(x,t)   (1 < β ≤ 2)

物理含义：

- β = 2：正常扩散（高斯）
- β < 2：Lévy飞行（长跳跃）
- 应用：病毒营销、网红效应传播

┌────────────────────────────────────────┐
│     布朗运动 vs Lévy飞行               │
│                                        │
│ 布朗运动（正常扩散）：                  │
│ •-•-•-•-•-•-•-•-•                     │
│   小步稳定前进                         │
│                                        │
│ Lévy飞行（超扩散）：                   │
│ •-•-•————————•-•-•———————•             │
│   偶尔大跳跃                           │
│                                        │
│ 商业含义：KOL带货的爆发式传播          │
└────────────────────────────────────────┘

∂ρ/∂t = ∫₀ᵗ K(t-τ) ∇²ρ(x,τ) dτ + S(x,t)

记忆核K(t)的选择：

- 指数衰减：K(t) = λe^(-λt) （短期记忆）
- 幂律衰减：K(t) = t^(-γ) （长期记忆）
- 振荡衰减：K(t) = e^(-λt)cos(ωt) （周期性）

# Grünwald-Letnikov逼近
def fractional_diff(f, alpha, h):
    N = len(f)
    weights = [1]
    for j in range(1, N):
        weights.append(weights[-1] * (j - 1 - alpha) / j)

    df = zeros(N)
    for i in range(N):
        for j in range(i+1):
            df[i] += weights[j] * f[i-j]

    return df / h^alpha

|ψ(x,t)⟩ = Σᵢ αᵢ|x⟩ ⊗ |coin⟩

演化算子：U = S·(I ⊗ H)
其中H是Hadamard门，S是条件位移