第10章：模型预测控制（MPC）

模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）是现代控制理论中最成功的先进控制策略之一，广泛应用于化工、石油炼制、航空航天、汽车工业等领域。MPC的核心思想是利用系统的数学模型，在每个采样时刻求解一个有限时域优化问题，得到最优控制序列，但只实施第一个控制动作，然后在下一时刻重复这个过程。这种"滚动时域"策略使MPC能够自然地处理多变量系统、约束条件和优化目标，成为工业界最受欢迎的先进控制技术。

10.1 MPC基本原理与公式化

10.1.1 预测模型

MPC的核心是一个能够预测系统未来行为的数学模型。考虑离散时间线性系统：

$$ \begin{aligned} x_{k+1} &= Ax_k + Bu_k \\ y_k &= Cx_k + Du_k \end{aligned} $$

其中 $x_k \in \mathbb{R}^n$ 是状态向量，$u_k \in \mathbb{R}^m$ 是控制输入，$y_k \in \mathbb{R}^p$ 是输出向量。

给定当前状态 $x_k$，我们可以预测未来 $N$ 步的系统轨迹：

$$ \begin{aligned} x_{k+1|k} &= Ax_k + Bu_{k|k} \\ x_{k+2|k} &= A^2x_k + ABu_{k|k} + Bu_{k+1|k} \\ &\vdots \\ x_{k+N|k} &= A^Nx_k + \sum_{i=0}^{N-1} A^{N-1-i}Bu_{k+i|k} \end{aligned} $$

其中 $x_{k+i|k}$ 表示在时刻 $k$ 对时刻 $k+i$ 的状态预测。

10.1.2 优化问题公式化

MPC在每个采样时刻求解如下优化问题：

$$ \begin{aligned} \min_{u_{k|k}, \ldots, u_{k+N-1|k}} \quad & J = \sum_{i=0}^{N-1} \left( |x_{k+i|k} - x_{ref}|_Q^2 + |u_{k+i|k}|_R^2 \right) + |x_{k+N|k} - x_{ref}|_P^2 \\ \text{s.t.} \quad & x_{k+i+1|k} = Ax_{k+i|k} + Bu_{k+i|k}, \quad i = 0, \ldots, N-1 \\ & x_{k|k} = x_k \\ & x_{min} \leq x_{k+i|k} \leq x_{max}, \quad i = 1, \ldots, N \\ & u_{min} \leq u_{k+i|k} \leq u_{max}, \quad i = 0, \ldots, N-1 \end{aligned} $$

其中：

$N$ 是预测时域
$Q \succeq 0, R \succ 0$ 是权重矩阵
$P \succeq 0$ 是终端代价权重
$x_{ref}$ 是参考状态
约束条件包括状态约束和输入约束

10.1.3 滚动时域策略

MPC的关键特征是滚动时域（Receding Horizon）策略：

在时刻 $k$，测量或估计当前状态 $x_k$
求解优化问题，得到最优控制序列 $u^*_{k|k}, u^*_{k+1|k}, \ldots, u^*_{k+N-1|k}$
只应用第一个控制动作 $u_k = u^*_{k|k}$
在下一时刻 $k+1$，重复整个过程

时刻 k:   [u*_k, u*_{k+1}, ..., u*_{k+N-1}]  → 应用 u*_k
            ↑___________________|
            预测时域 N

时刻 k+1: [u*_{k+1}, u*_{k+2}, ..., u*_{k+N}]  → 应用 u*_{k+1}
            ↑_____________________|
            预测时域 N（向前滚动）

这种策略的优势在于：

能够利用最新的状态信息进行反馈控制
可以补偿模型误差和外部扰动
自然地实现了优化与反馈的结合

10.1.4 将优化问题转化为二次规划

为了高效求解，我们通常将MPC优化问题转化为标准的二次规划（QP）形式。定义增广向量：

$$ \mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{k|k} \\ u_{k+1|k} \\ \vdots \\ u_{k+N-1|k} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_{k+1|k} \\ x_{k+2|k} \\ \vdots \\ x_{k+N|k} \end{bmatrix} $$

预测方程可以写成紧凑形式：

$$ \mathbf{X} = \mathbf{F}x_k + \mathbf{G}\mathbf{U} $$

其中：

$$ \mathbf{F} = \begin{bmatrix} A \\ A^2 \\ \vdots \\ A^N \end{bmatrix}, \quad \mathbf{G} = \begin{bmatrix} B & 0 & \cdots & 0 \\ AB & B & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A^{N-1}B & A^{N-2}B & \cdots & B \end{bmatrix} $$

代价函数可以写成：

$$ J = \mathbf{U}^T\mathbf{H}\mathbf{U} + 2\mathbf{f}^T\mathbf{U} + c $$

其中 $\mathbf{H}$、$\mathbf{f}$ 和 $c$ 由权重矩阵和参考轨迹决定。这就是一个标准的QP问题，可以用专门的QP求解器高效求解。

10.2 约束处理与优化求解

10.2.1 约束类型

MPC能够系统地处理各种约束，这是其相对于传统控制方法的主要优势之一：

输入约束 - 幅值约束：$u_{min} \leq u_k \leq u_{max}$（如阀门开度0-100%） - 变化率约束：$\Delta u_{min} \leq u_k - u_{k-1} \leq \Delta u_{max}$（防止执行器磨损）
状态/输出约束 - 安全约束：$x_{min} \leq x_k \leq x_{max}$（如温度、压力限制） - 软约束：允许短暂违反但会受到惩罚
终端约束 - 终端状态约束：$x_{k+N|k} \in \mathcal{X}_f$（保证稳定性） - 终端等式约束：$x_{k+N|k} = x_{ref}$（用于轨迹跟踪）

10.2.2 软约束处理

硬约束可能导致优化问题无可行解，特别是在存在扰动或模型误差时。软约束通过引入松弛变量来解决这个问题：

$$ \begin{aligned} \min \quad & J + \rho \sum_{i=1}^{N} |\epsilon_i|_1 \\ \text{s.t.} \quad & x_{min} - \epsilon_i \leq x_{k+i|k} \leq x_{max} + \epsilon_i \\ & \epsilon_i \geq 0 \end{aligned} $$

其中 $\epsilon_i$ 是松弛变量，$\rho$ 是惩罚权重。这种方法在保证问题始终有解的同时，尽可能减少约束违反。

10.2.3 优化求解方法

内点法（Interior Point Methods）

适用于中大规模问题，具有多项式时间复杂度：

通过障碍函数将约束问题转化为无约束问题
迭代次数对问题规模不敏感
每次迭代需要求解大规模线性系统

活动集方法（Active Set Methods）

适用于小规模问题，能够热启动：

维护活动约束集合
在可行域的边界上搜索
利用前一时刻的解作为初始猜测

快速梯度方法（Fast Gradient Methods）

适用于嵌入式实现：

基于梯度投影的一阶方法
内存需求小，适合实时系统
收敛速度依赖于问题的条件数

10.2.4 计算效率优化

结构利用

MPC问题具有特殊的稀疏结构，可以利用这种结构加速求解：

$$ \mathbf{H} = \begin{bmatrix} H_{11} & H_{12} & & \\ H_{21} & H_{22} & H_{23} & \\ & H_{32} & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & H_{N,N} \end{bmatrix} $$

使用块三对角矩阵分解算法，计算复杂度从 $O(N^3m^3)$ 降低到 $O(Nm^3)$。

热启动

利用前一时刻的解构造当前时刻的初始猜测：

$$ \mathbf{U}^{init}_k = \begin{bmatrix} u^*_{k+1|k-1} \\ \vdots \\ u^*_{k+N-1|k-1} \\ u_{steady} \end{bmatrix} $$

这种方法显著减少迭代次数，特别是在系统变化缓慢时。

移动时域估计（Move Blocking）

减少优化变量数量，假设控制输入在某些时段内保持不变：

$$ u_{k+i|k} = u_{k+j|k}, \quad i,j \in \text{同一时段} $$

这种方法在长预测时域情况下特别有效。

10.3 稳定性保证

10.3.1 无约束MPC的稳定性

对于无约束线性MPC，如果选择无限时域代价函数：

$$ J_\infty = \sum_{i=0}^{\infty} \left( |x_{k+i|k}|_Q^2 + |u_{k+i|k}|_R^2 \right) $$

则闭环系统是渐近稳定的。无限时域问题的解可以通过求解代数Riccati方程得到：

$$ P = Q + A^TPA - A^TPB(R + B^TPB)^{-1}B^TPA $$

最优控制律为： $$ u_k = -Kx_k, \quad K = (R + B^TPB)^{-1}B^TPA $$

10.3.2 终端代价方法

有限时域MPC通过添加适当的终端代价来保证稳定性。终端代价 $V_f(x) = x^TPx$ 应满足：

Lyapunov递减条件： $$ V_f(Ax + Bu^*) - V_f(x) \leq -|x|_Q^2 - |u^*|_R^2 $$

其中 $u^* = -Kx$ 是局部控制器。

通常选择 $P$ 为对应无限时域LQR问题的解，这保证了上述条件成立。

10.3.3 终端约束集方法

另一种保证稳定性的方法是引入终端约束集 $\mathcal{X}_f$：

$$ x_{k+N|k} \in \mathcal{X}_f $$

终端集应满足：

正不变性： 如果 $x \in \mathcal{X}_f$，则 $Ax + Bu^*(x) \in \mathcal{X}_f$
约束可行性： 对所有 $x \in \mathcal{X}_f$，控制 $u^*(x)$ 满足输入约束
包含原点： $0 \in \mathcal{X}_f$

最大正不变集可以通过迭代计算：

$$ \mathcal{X}_f = \{x : |Kx| \leq u_{max}, |C_ix| \leq y_{max}^{(i)}, i = 0,1,2,\ldots\} $$

其中 $C_i = C(A-BK)^i$。

10.3.4 递归可行性

递归可行性是MPC稳定性的关键。如果时刻 $k$ 的问题有可行解，则时刻 $k+1$ 的问题也应有可行解。

定理（递归可行性）： 如果MPC问题在时刻 $k$ 有可行解 $\mathbf{U}^*_k$，且终端约束集 $\mathcal{X}_f$ 是正不变的，则在时刻 $k+1$ 存在可行解：

$$ \mathbf{U}_{k+1}^{feas} = \begin{bmatrix} u^*_{k+1|k} \\ \vdots \\ u^*_{k+N-1|k} \\ K x^*_{k+N|k} \end{bmatrix} $$

这个构造的可行解保证了MPC问题始终有解，从而保证了闭环稳定性。

10.4 鲁棒MPC

实际系统总是存在模型不确定性和外部扰动，鲁棒MPC旨在保证在这些不确定性存在的情况下仍能维持稳定性和性能。

10.4.1 不确定性建模

考虑存在不确定性的系统：

$$ x_{k+1} = A(\theta)x_k + B(\theta)u_k + w_k $$

其中：

$\theta \in \Theta$ 是参数不确定性
$w_k \in \mathcal{W}$ 是有界扰动
$\mathcal{W} = \{w : |w|_\infty \leq w_{max}\}$

常见的不确定性描述方式：

多胞体不确定性 $$ [A(\theta), B(\theta)] \in \text{Co}\{[A_1, B_1], \ldots, [A_L, B_L]\} $$
范数有界不确定性 $$ A(\theta) = A_0 + \Delta A, \quad |\Delta A| \leq \delta_A $$

10.4.2 最小-最大MPC

最保守但最安全的方法是考虑最坏情况：

$$ \begin{aligned} \min_{u_{k|k}, \ldots} \max_{w, \theta} \quad & J(x_k, \mathbf{U}, w, \theta) \\ \text{s.t.} \quad & \text{约束对所有} \, w \in \mathcal{W}, \theta \in \Theta \, \text{都满足} \end{aligned} $$

这个问题通常很难求解，需要采用近似方法。

10.4.3 管道MPC（Tube MPC）

管道MPC通过分离名义轨迹和误差动态来处理不确定性：

名义系统： 无扰动的确定性系统 $$ \bar{x}_{k+1} = A\bar{x}_k + B\bar{u}_k $$
误差系统： 实际状态与名义状态的偏差 $$ e_k = x_k - \bar{x}_k $$
鲁棒控制律： $$ u_k = \bar{u}_k + K(x_k - \bar{x}_k) $$

误差动态满足： $$ e_{k+1} = (A + BK)e_k + w_k $$

通过选择合适的反馈增益 $K$，可以保证误差始终在一个鲁棒正不变集 $\mathcal{E}$ 内：

$$ \mathcal{E} = \{e : e = \sum_{i=0}^{\infty} (A+BK)^i w_i, w_i \in \mathcal{W}\} $$

约束需要收紧以考虑误差： $$ \bar{x}_k \in \mathcal{X} \ominus \mathcal{E}, \quad \bar{u}_k \in \mathcal{U} \ominus K\mathcal{E} $$

其中 $\ominus$ 表示Minkowski差。

10.4.4 场景MPC

基于场景的方法通过采样多个不确定性实现来近似鲁棒性：

$$ \min_{\mathbf{U}} \sum_{s=1}^{S} p_s J_s(x_k, \mathbf{U}, \theta_s) $$

其中 $S$ 是场景数量，$p_s$ 是场景概率。

这种方法的优势是可以处理非凸不确定性集，且优化问题仍是凸的（如果原问题是凸的）。

10.4.5 自适应MPC

结合参数估计的MPC方法：

在线参数估计： 使用递归最小二乘或卡尔曼滤波 $$ \hat{\theta}_{k+1} = \hat{\theta}_k + L_k(y_k - \hat{y}_k) $$
不确定性集更新： 基于估计误差协方差 $$ \Theta_k = \{\theta : (\theta - \hat{\theta}_k)^T P_k^{-1} (\theta - \hat{\theta}_k) \leq \chi^2_\alpha\} $$
双模MPC： 在参数收敛后切换到确定性MPC

10.5 显式MPC

显式MPC通过离线求解多参数规划问题，将MPC控制律表示为状态的分段仿射函数。

10.5.1 多参数二次规划

将状态 $x_k$ 视为参数，MPC问题变为多参数QP：

$$ \begin{aligned} u^*(x) = \arg\min_{\mathbf{U}} \quad & \frac{1}{2}\mathbf{U}^T H \mathbf{U} + x^T F \mathbf{U} \\ \text{s.t.} \quad & G\mathbf{U} \leq W + Ex \end{aligned} $$

10.5.2 解的结构

定理： 上述多参数QP的解是状态空间的分段仿射函数：

$$ u^*(x) = K_i x + g_i, \quad \text{if } x \in \mathcal{R}_i $$

其中 $\mathcal{R}_i$ 是多面体区域，状态空间被划分为有限个这样的区域。

10.5.3 离线计算

显式MPC的计算分为两步：

离线阶段： - 枚举所有可能的活动约束集 - 计算每个活动集对应的控制律和可行域 - 构建查找表或搜索树
在线阶段： - 确定当前状态所在的区域 - 应用对应的仿射控制律

状态空间划分示例（2维）：

     x₂ ↑
        |  R₃: u = K₃x + g₃
        |╱╲╱╲╱╲╱╲╱
        |╲╱╲╱╲╱╲╱ R₂: u = K₂x + g₂
        |────────
        | R₁: u = K₁x + g₁
    ────┼────────→ x₁
        |

10.5.4 优势与局限

优势：

在线计算量极小（只需查表和矩阵乘法）
适合嵌入式系统和高频控制
控制律透明，便于验证

局限：

离线计算复杂度随问题维数指数增长
存储需求大（区域数量多）
仅适用于线性系统和二次代价
难以处理时变参考和约束

10.5.5 复杂度降低技术

近似显式MPC

通过合并相近的区域来减少分区数量： $$ |K_i - K_j| < \epsilon \Rightarrow \text{合并区域} \, \mathcal{R}_i \, \text{和} \, \mathcal{R}_j $$

部分显式MPC

只对状态空间的关键区域进行显式化，其他区域在线求解。

分层结构

使用二叉搜索树或哈希表加速区域定位：

根节点: H₁ᵀx ≤ b₁?
├─ 是 → 节点2: H₂ᵀx ≤ b₂?
│   ├─ 是 → 区域R₁
│   └─ 否 → 区域R₂
└─ 否 → 节点3: H₃ᵀx ≤ b₃?
    ├─ 是 → 区域R₃
    └─ 否 → 区域R₄

10.6 案例研究：炼油厂催化裂化装置优化控制

10.6.1 背景介绍

流化催化裂化（FCC）是炼油工业的核心装置，将重质原油转化为汽油和其他轻质产品。一个典型的FCC装置价值数亿美元，每天处理数万桶原油，其运行效率直接影响炼厂的经济效益。

FCC装置的控制挑战包括：

多变量强耦合： 反应器温度影响产品分布，再生器温度影响催化剂活性
严格约束： 设备物理限制、安全约束、环保排放要求
经济优化： 在满足产品质量的前提下最大化高价值产品产率
扰动频繁： 原料性质变化、催化剂失活、设备结垢

10.6.2 过程建模

FCC装置的简化动态模型包含以下主要变量：

状态变量（6个）：

$x_1$: 反应器温度 (°C)
$x_2$: 再生器温度 (°C)
$x_3$: 反应器压力 (kPa)
$x_4$: 再生器氧含量 (%)
$x_5$: 催化剂藏量 (ton)
$x_6$: 产品质量指标

控制变量（4个）：

$u_1$: 进料流率 (m³/h)
$u_2$: 催化剂循环速率 (ton/h)
$u_3$: 空气流率 (Nm³/h)
$u_4$: 反应温度设定值 (°C)

输出变量（5个）：

$y_1$: 汽油产率 (%)
$y_2$: 柴油产率 (%)
$y_3$: 焦炭产率 (%)
$y_4$: CO排放 (ppm)
$y_5$: 反应苛刻度

线性化模型（采样时间 T = 1分钟）： $$ \begin{aligned} x_{k+1} &= Ax_k + Bu_k + B_d d_k \\ y_k &= Cx_k \end{aligned} $$

其中 $d_k$ 是可测扰动（原料性质）。

10.6.3 MPC公式化

优化目标：

经济目标函数考虑产品价值和操作成本： $$ J_{econ} = -\sum_{i=0}^{N-1} \left( p_{gas} y_{1,k+i} + p_{diesel} y_{2,k+i} - p_{feed} u_{1,k+i} - p_{util} u_{3,k+i} \right) $$

其中 $p_{gas}, p_{diesel}, p_{feed}, p_{util}$ 是价格系数。

加入稳定性和平滑性要求： $$ J = J_{econ} + \sum_{i=0}^{N-1} \left( |y_{k+i} - y_{ref}|_Q^2 + |\Delta u_{k+i}|_R^2 \right) $$

约束条件：

操作约束： - 进料流率：$100 \leq u_1 \leq 150$ m³/h - 催化剂循环：$200 \leq u_2 \leq 400$ ton/h - 空气流率：$5000 \leq u_3 \leq 8000$ Nm³/h
安全约束： - 反应器温度：$480 \leq x_1 \leq 530$ °C - 再生器温度：$650 \leq x_2 \leq 720$ °C（防止催化剂烧结） - 压力差：$|x_3 - p_{atm}| \leq 50$ kPa
环保约束： - CO排放：$y_4 \leq 200$ ppm - SOx排放：满足环保标准
质量约束： - 汽油辛烷值：$y_6 \geq 92$ - 硫含量：$y_7 \leq 10$ ppm

10.6.4 实施策略

分层控制结构

┌─────────────────────────┐
│   实时优化器 (RTO)      │ ← 每小时更新
│   (稳态优化目标)        │
└───────────┬─────────────┘
            ↓ 目标值
┌─────────────────────────┐
│     MPC控制器           │ ← 每分钟执行
│   (动态优化+约束)       │
└───────────┬─────────────┘
            ↓ 设定值
┌─────────────────────────┐
│    基础控制层 (PID)     │ ← 每秒执行
│   (阀门、泵控制)        │
└─────────────────────────┘

扰动前馈

利用原料性质在线分析仪的测量值进行前馈补偿： $$ u_k = u_{MPC,k} + K_{ff} (d_k - d_{nom}) $$

软约束处理

将产品质量约束设为软约束，安全约束保持为硬约束： $$ \begin{aligned} \min \quad & J + \rho_1 \epsilon_{quality} + \rho_2 \epsilon_{emission} \\ \text{s.t.} \quad & y_{quality} \geq y_{min} - \epsilon_{quality} \\ & y_{emission} \leq y_{max} + \epsilon_{emission} \\ & \epsilon_{quality}, \epsilon_{emission} \geq 0 \end{aligned} $$

10.6.5 实际效果

某炼厂实施MPC后的改进效果：

经济效益 - 汽油产率提高 2.3% - 能耗降低 5.1% - 年经济效益增加 800万美元
运行稳定性 - 主要变量标准差降低 40% - 约束违反次数减少 75% - 非计划停车减少 60%
环保指标 - CO排放降低 30% - SOx排放降低 25% - 满足日益严格的环保法规

10.6.6 实施挑战与解决方案

挑战1：模型失配

问题：催化剂活性衰减导致模型偏差
解决：实施自适应MPC，在线更新模型参数

挑战2：计算时间

问题：大规模优化问题求解时间超过采样周期
解决：采用热启动和结构化求解器，计算时间从45秒降至8秒

挑战3：操作员接受度

问题：操作员不信任"黑箱"算法
解决：开发可视化界面，显示预测轨迹和约束状态

挑战4：非线性行为

问题：在大范围操作时线性模型不准确
解决：采用多模型MPC，根据操作点切换模型

10.6.7 先进特性

经济MPC（EMPC）

直接优化经济目标，而非跟踪稳态最优点： $$ \min_{u} \sum_{k=0}^{N-1} L_{econ}(x_k, u_k) $$

需要额外的稳定性约束或终端成分来保证闭环稳定性。

随机MPC处理价格波动

考虑产品价格的随机性： $$ \min_{u} \mathbb{E}\left[ \sum_{k=0}^{N-1} L(x_k, u_k, p_k) \right] + \beta \cdot \text{CVaR} $$

其中CVaR（条件风险价值）用于风险管理。

与机器学习结合

使用深度学习预测原料性质变化
强化学习优化MPC参数调整策略
异常检测预警潜在故障

10.7 前沿专题：随机MPC与分布式MPC

10.7.1 随机MPC

处理随机不确定性的MPC方法，适用于需求不确定、价格波动等场景。

基本公式： $$ \begin{aligned} \min_{u} \quad & \mathbb{E}\left[ \sum_{k=0}^{N-1} l(x_k, u_k) + V_f(x_N) \right] \\ \text{s.t.} \quad & x_{k+1} = f(x_k, u_k, w_k) \\ & \mathbb{P}(g(x_k, u_k) \leq 0) \geq 1 - \epsilon \end{aligned} $$

求解方法：

场景树方法： 构建随机过程的场景树
多项式混沌展开： 用正交多项式近似随机变量
采样平均近似： Monte Carlo采样

10.7.2 分布式MPC

大规模系统分解为多个子系统，每个子系统有自己的MPC控制器。

系统分解： $$ x_i^+ = A_{ii}x_i + B_{ii}u_i + \sum_{j \in \mathcal{N}_i} (A_{ij}x_j + B_{ij}u_j) $$

其中 $\mathcal{N}_i$ 是子系统 $i$ 的邻居集合。

协调策略：

非迭代方案： 每个子系统独立求解，考虑邻居的预测轨迹
迭代方案： 子系统间交换信息，迭代至收敛
基于ADMM的方案： 使用交替方向乘子法实现分布式优化

应用示例：

智能电网的分布式能量管理
交通网络的协调控制
多机器人系统的编队控制

10.8 历史人物：Jacques Richalet

Jacques Richalet（1936-）是工业模型预测控制的先驱。1978年，他和同事在法国开发了第一个商业化的MPC算法——IDCOM（Identification and Command），并成功应用于炼油厂的催化裂化装置控制。

Richalet的主要贡献：

工业化MPC： 将理论转化为实用技术，证明了MPC在工业过程控制中的可行性
脉冲响应模型： 使用有限脉冲响应（FIR）模型，避免了状态空间模型的复杂性
启发式方法： 开发了许多实用的调参规则和经验公式

他的名言："在工业控制中，一个能工作的简单算法胜过一个完美但复杂的理论。"这一理念深刻影响了MPC的发展方向。

同期，Shell公司的Cutler和Ramaker开发了动态矩阵控制（DMC），这两个算法共同奠定了工业MPC的基础。今天，MPC已成为过程工业的标准控制技术，每年创造数十亿美元的经济价值。

10.9 本章小结

模型预测控制是现代控制理论中最成功的高级控制策略，其核心优势在于：

关键概念：

滚动时域优化： 在每个采样时刻求解有限时域优化问题
约束处理能力： 系统地处理输入、状态和输出约束
多目标优化： 平衡经济效益、控制性能和约束满足

核心公式：

MPC优化问题： $$\min_{\mathbf{U}} \sum_{i=0}^{N-1} l(x_{k+i|k}, u_{k+i|k}) + V_f(x_{k+N|k})$$
预测模型： $$x_{k+i+1|k} = Ax_{k+i|k} + Bu_{k+i|k}$$
稳定性条件： $$V(x_{k+1}) - V(x_k) \leq -l(x_k, u_k)$$ 实施要点：
选择合适的预测时域和控制时域
权重矩阵调整：Q影响跟踪性能，R影响控制平滑性
约束软化策略：区分硬约束和软约束
计算效率优化：利用问题结构和热启动

发展趋势：

经济MPC：直接优化经济目标
学习型MPC：结合机器学习改进模型和性能
分布式MPC：大规模系统的协调控制
鲁棒自适应MPC：处理不确定性和时变系统

10.10 练习题

基础题

习题10.1 考虑二阶系统： $$ x_{k+1} = \begin{bmatrix} 1.2 & 0.1 \\ -0.2 & 0.9 \end{bmatrix} x_k + \begin{bmatrix} 0.5 \\ 1 \end{bmatrix} u_k $$ 设计MPC控制器，预测时域N=3，权重Q=I, R=1。写出完整的优化问题公式。

Hint: 首先构建预测方程，然后写出代价函数的矩阵形式。

答案

构建预测矩阵： $$\mathbf{F} = \begin{bmatrix} A \\ A^2 \\ A^3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{G} = \begin{bmatrix} B & 0 & 0 \\ AB & B & 0 \\ A^2B & AB & B \end{bmatrix}$$ 优化问题： $$\min_{\mathbf{U}} \mathbf{U}^T(\mathbf{G}^T\bar{Q}\mathbf{G} + \bar{R})\mathbf{U} + 2(\mathbf{F}x_k)^T\bar{Q}\mathbf{G}\mathbf{U}$$ 其中 $\bar{Q} = \text{diag}(Q, Q, Q)$, $\bar{R} = \text{diag}(R, R, R)$。

习题10.2 解释为什么MPC中的预测时域N不能太小也不能太大？典型的选择原则是什么？

Hint: 考虑稳定性和计算复杂度。

答案

预测时域N的影响：

N太小：无法捕捉系统的完整动态响应，可能导致短视行为和稳定性问题
N太大：计算负担增加（O(N³)），模型误差累积，远期预测不准确

典型选择原则：

N应覆盖系统的主要动态（约为上升时间的1.5-2倍）
对于稳定系统：N = 10-30个采样周期
对于不稳定系统：需要更长的预测时域或终端约束
工业经验法则：N × Ts ≈ 系统建立时间

习题10.3 某化工反应器的温度控制采用MPC，输入约束为0 ≤ u ≤ 100（冷却水流量），状态约束为20 ≤ x ≤ 80（反应温度）。如何将这些约束转化为QP问题的标准形式？

Hint: 构建约束矩阵G和向量h。

答案

标准形式：$G\mathbf{U} \leq h$

对于输入约束： $$\begin{bmatrix} I \\ -I \end{bmatrix} \mathbf{U} \leq \begin{bmatrix} 100 \cdot \mathbf{1} \\ 0 \cdot \mathbf{1} \end{bmatrix}$$ 对于状态约束（利用预测方程 $\mathbf{X} = \mathbf{F}x_k + \mathbf{G}\mathbf{U}$）： $$\begin{bmatrix} \mathbf{G} \\ -\mathbf{G} \end{bmatrix} \mathbf{U} \leq \begin{bmatrix} 80 \cdot \mathbf{1} - \mathbf{F}x_k \\ -20 \cdot \mathbf{1} + \mathbf{F}x_k \end{bmatrix}$$ 合并得到完整约束矩阵。

挑战题

习题10.4 推导管道MPC中鲁棒正不变集的计算方法。假设误差动态为 $e_{k+1} = Ae_k + w_k$，其中 $|w_k|_\infty \leq w_{max}$，A是稳定矩阵。

Hint: 使用Minkowski和的性质。

答案

鲁棒正不变集定义为： $$\mathcal{E} = \{e : e = \sum_{i=0}^{\infty} A^i w_i, |w_i|_\infty \leq w_{max}\}$$ 由于A稳定，可以近似为有限和： $$\mathcal{E}_N = \bigoplus_{i=0}^{N} A^i \mathcal{W}$$ 其中 $\mathcal{W} = \{w : |w|_\infty \leq w_{max}\}$，$\bigoplus$ 表示Minkowski和。

迭代计算：

$\mathcal{E}_0 = \mathcal{W}$
$\mathcal{E}_{k+1} = A\mathcal{E}_k \oplus \mathcal{W}$
当 $\mathcal{E}_{k+1} \subseteq \mathcal{E}_k$ 时停止

最终 $\mathcal{E} = \mathcal{E}_k$ 是最小鲁棒正不变集。

习题10.5 设计一个经济MPC控制器，最大化生产效益同时保证闭环稳定性。系统动态：$x_{k+1} = 0.9x_k + u_k$，经济目标：$l_e(x,u) = px - cu^2$（p是产品价格，c是能源成本）。

Hint: 使用旋转代价函数方法或添加稳定性约束。

答案

方法1：旋转代价函数 $$l(x,u) = l_e(x,u) - l_e(x_s, u_s) + \lambda|x-x_s|^2$$ 其中 $(x_s, u_s)$ 是经济最优稳态点： $$x_s = \frac{p}{2c(1-0.9)^2}, \quad u_s = 0.1x_s$$ 方法2：添加平均约束 $$\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1} x_{k+i|k} = x_s$$ 方法3：终端约束 $$x_{k+N|k} \in \mathcal{X}_f$$ 其中 $\mathcal{X}_f$ 是包含 $x_s$ 的正不变集。

这些方法都能保证经济最优性和闭环稳定性的平衡。

习题10.6 分析显式MPC的复杂度。对于n维状态、m维输入、c个约束的系统，估计：(a) 区域数量的上界；(b) 在线计算复杂度；(c) 存储需求。

Hint: 使用组合数学分析最坏情况。

答案

(a) 区域数量上界：

每个区域对应一个活动约束集
最多有 $\binom{c}{n}$ 个可能的活动集
实际区域数通常远小于此上界

(b) 在线计算复杂度：

点定位：O(log(N_r) × n)（使用二叉搜索树）
控制计算：O(nm)（矩阵向量乘法）
总复杂度：O(n log(N_r) + nm)

每个区域需存储：
控制律：(m × n + m)个数
区域描述：最多c个不等式，每个需(n+1)个数
总存储：O(N_r × (mn + c(n+1)))

典型值：n=4, m=2, c=20时，可能有数百到数千个区域，需要MB级存储。

习题10.7（开放思考题）比较MPC与强化学习在控制问题中的优劣。什么情况下应该选择MPC？什么情况下RL更合适？能否有效结合两者的优势？

参考思路

MPC的优势：

显式处理约束
基于模型，样本效率高
可解释性强，稳定性可证明
在线优化，适应性好

RL的优势：

无需精确模型
可处理高维、非线性系统
长期优化能力强
可从经验中学习改进

选择原则：

有准确模型+安全要求高 → MPC
模型未知+可以试错学习 → RL
实时性要求高+约束多 → MPC
复杂环境+难以建模 → RL

结合方法：

RL学习MPC的参数（权重、时域）
MPC作为RL的安全层
RL学习残差补偿MPC模型误差
可微分MPC嵌入RL策略网络

10.11 常见陷阱与错误

陷阱1：预测时域选择不当

错误： 为了减少计算量，选择很短的预测时域（如N=2） 后果： 控制器短视，可能导致振荡或不稳定 正确做法： N应至少覆盖系统的主导动态，通常N×Ts ≥ 0.7×上升时间

陷阱2：忽略递归可行性

错误： 设计MPC时只关注标称性能，不考虑扰动下的可行性 后果： 实际运行时频繁出现无可行解，控制器失效 正确做法： 使用终端约束集或软约束确保递归可行性

陷阱3：权重调试无章法

错误： 随机调整Q和R矩阵，希望获得好的性能 后果： 调试时间长，性能不理想 正确做法：

先归一化变量（使其数量级相当）
Q的对角元素反比于容许误差的平方
R的对角元素反比于控制范围的平方

陷阱4：模型更新不及时

错误： 使用固定的线性模型，不考虑工作点变化 后果： 在偏离设计工作点时性能严重下降 正确做法： 实施增益调度或自适应MPC，定期更新模型

陷阱5：过度依赖积分作用

错误： 在MPC外层添加积分器消除稳态误差 后果： 可能导致积分饱和，约束处理复杂化 正确做法： 使用增量式MPC或扰动模型，在MPC内部处理偏差

陷阱6：忽略计算延迟

错误： 假设优化求解是瞬时的 后果： 实际系统存在一个采样周期的延迟，影响稳定性 正确做法： 在模型中包含计算延迟，或使用预测补偿

10.12 最佳实践检查清单

设计阶段

[ ] 模型验证： 通过开环测试验证预测模型精度
[ ] 采样时间： 选择合适的采样时间（过程时间常数的1/10到1/20）
[ ] 预测时域： 确保N覆盖主要动态（闭环上升时间的1.5-2倍）
[ ] 控制时域： 通常选择Nu = N/3到N/2
[ ] 约束设置： 区分硬约束（安全）和软约束（性能）
[ ] 稳定性保证： 添加终端代价或终端约束
[ ] 可行性分析： 验证初始可行域足够大

实施阶段

[ ] 求解器选择： 根据问题规模选择合适的QP求解器
[ ] 热启动策略： 利用前一时刻的解加速求解
[ ] 故障处理： 设计无可行解时的备份策略
[ ] 扰动处理： 实施扰动观测器或前馈补偿
[ ] 抗饱和措施： 处理执行器饱和情况
[ ] 模型自适应： 实施在线参数估计或多模型切换

调试阶段

[ ] 离线仿真： 在各种场景下测试控制器
[ ] 性能指标： 监控计算时间、约束违反、经济效益
[ ] 鲁棒性测试： 测试模型失配和扰动下的性能
[ ] 权重调整： 系统地调整权重矩阵
[ ] 约束软化： 必要时放松非关键约束
[ ] 备份方案： 准备MPC失效时的降级控制策略

运行维护

[ ] 性能监控： 跟踪KPI和控制质量指标
[ ] 模型维护： 定期重新辨识和更新模型
[ ] 约束审查： 根据运行经验调整约束限值
[ ] 优化器健康： 监控求解时间和迭代次数
[ ] 经济优化： 更新价格和成本系数
[ ] 知识积累： 记录异常情况和解决方案