本章作为全书的基础，系统介绍3D打印（增材制造）的核心原理、主流技术路线及其数学模型。我们将从物理原理出发，建立各种打印技术的定量分析框架，为后续深入讨论精度控制、参数优化等问题奠定理论基础。通过本章学习，读者将掌握不同3D打印技术的工作机制、适用场景，以及精度-速度-成本之间的权衡关系。
增材制造（Additive Manufacturing, AM）是通过逐层堆积材料来构建三维实体的制造技术总称。与传统的减材制造（如CNC加工）和等材制造（如注塑成型）相比，增材制造具有独特的优势：设计自由度高、无需模具、小批量成本优势明显。
从信息论角度看，3D打印本质上是一个从数字信息（CAD模型）到物理实体的转换过程。这个过程可以用信息熵的概念来理解：原始CAD模型包含了完整的几何信息（低熵状态），经过切片离散化后信息熵增加，最终通过材料沉积将信息固化为物理形态。每种打印技术在这个信息传递链中的保真度不同，这直接决定了其精度上限。
增材制造的经济学模型也与传统制造截然不同。传统制造的单位成本曲线呈现典型的规模经济特征：
\[C_{unit,traditional} = \frac{C_{tooling}}{N} + C_{material} + C_{labor}\]其中模具成本$C_{tooling}$被产量N分摊。而增材制造的成本结构则相对平坦：
\[C_{unit,AM} = C_{material} + \frac{C_{machine} \cdot t_{print}}{T_{lifetime}} + C_{labor}\]这种成本结构使得增材制造在小批量、定制化生产中具有显著优势。交叉点产量$N_{crossover}$可通过求解两条成本曲线的交点获得，通常在几百到几千件之间，具体取决于零件复杂度和材料选择。
根据ISO/ASTM 52900标准，3D打印技术可分为七大类。这种分类主要基于材料状态转换机制：固-液-固（熔融类）、液-固（光聚合类）、粉-固（烧结类）、以及其他特殊转换路径。每种机制的物理约束决定了其应用边界。
从能量密度角度，不同技术覆盖了极宽的范围：从FDM的低能量密度（~10 J/mm³）到SLM的高能量密度（~100-1000 J/mm³）。能量密度E可表示为：
\[E = \frac{P}{v \cdot h \cdot w}\]其中P是功率，v是扫描速度，h是层厚，w是线宽。这个参数直接影响材料的微观结构和最终性能。
不同技术在关键性能指标上存在显著差异。这些差异源于底层物理机制的本质区别：相变动力学、传热传质速率、以及材料流变特性。理解这些差异有助于技术选型和参数优化。
精度的理论极限由三个因素决定：(1)最小可控单元尺寸（如激光光斑、喷嘴直径）；(2)材料的最小特征尺寸（如粉末粒径、聚合物链尺度）；(3)物理扩散长度（热扩散、分子扩散）。实际精度通常由这三者中的最大值决定：
\[\Delta_{min} = \max(\Delta_{control}, \Delta_{material}, \Delta_{diffusion})\]速度限制则主要来自能量传递速率。对于热过程，最大速度受限于：
\[v_{max} \propto \frac{k\Delta T}{\rho c_p L_{melt}}\]其中k是热导率，ΔT是温差，$L_{melt}$是相变潜热。这解释了为什么金属打印（高热导率、高熔点）比塑料打印慢一个数量级。
技术类型 精度(μm) 速度(cm³/h) 材料成本($/kg) 设备成本($)
FDM/FFF 100-400 10-100 20-100 200-5k
SLA 25-100 5-50 50-200 2k-50k
DLP 35-100 10-80 50-200 3k-100k
SLS 50-150 20-60 30-500 100k-1M
SLM 20-100 2-20 100-1000 200k-2M
PolyJet 15-30 5-30 200-500 50k-500k
材料选择直接影响打印质量和应用场景。从材料科学角度，3D打印材料需要满足特定的加工窗口和性能要求。这个加工窗口可以用多维相空间表示，其中关键维度包括：温度T、剪切速率$\dot{\gamma}$、冷却速率$\dot{T}$，以及特征时间尺度比如松弛时间$\tau_{relax}$。
材料的可打印性指数(Printability Index, PI)可定义为：
\[PI = \frac{(T_{process} - T_{degradation})}{T_{process} - T_{solidification}} \cdot \frac{\tau_{solidification}}{\tau_{flow}} \cdot f(\eta, \dot{\gamma})\]其中第一项表征热稳定窗口，第二项表征流动-固化时间匹配，第三项是流变特性函数。PI > 1表示材料具有良好的可打印性。
不同材料体系的时间-温度-转变(TTT)图谱决定了其加工路径。例如，半结晶聚合物需要控制冷却速率以获得合适的结晶度：
\[X_c(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t K(T(\tau))d\tau\right)\]其中K(T)是温度相关的结晶速率常数，遵循Hoffman-Lauritzen理论。
熔融沉积成型（FDM/FFF）是应用最广泛的桌面级3D打印技术。理解其物理过程和数学模型对于优化打印参数至关重要。FDM技术的核心在于精确控制热塑性材料的相变过程：从固态丝材到熔融态，再到最终的固化成型。
从Fourier传热定律出发，挤出过程的温度场满足：
\[\nabla \cdot (k\nabla T) + \dot{q} = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} + \rho c_p \mathbf{v} \cdot \nabla T\]其中最后一项是对流项，在高速挤出时不可忽略。该方程的解决定了挤出物的温度历史，进而影响微观结构和力学性能。
挤出系统的设计从根本上是一个多物理场耦合问题。需要同时考虑：(1)机械驱动的力传递；(2)热场的建立与维持；(3)流体的剪切流动；(4)材料的相变动力学。这些过程相互影响，构成了复杂的非线性系统。
材料在挤出系统中经历三个阶段：固体输送、熔融、熔体流动。每个阶段的物理机制不同，需要分别建模。
固体输送段的推力平衡方程：
\[F_{push} = F_{friction} + F_{pressure}\]其中推力来自步进电机通过齿轮施加：
\[F_{push} = \frac{\tau_{motor} \cdot r_{gear}}{r_{filament}}\]摩擦力取决于丝材与导管的接触状态。对于Bowden系统（远程挤出），摩擦损失遵循Coulomb模型：
\[F_{friction} = \mu N \cdot L_{tube} = \mu \frac{F_{push}}{R_{curvature}} \cdot L_{tube}\]其中$R_{curvature}$是导管曲率半径。这解释了为什么Bowden系统对柔性材料（如TPU）效果较差——柔性材料在压缩下屈曲，增加了法向力和摩擦损失。
直驱系统（Direct Drive）的优势在于消除了长距离传输的摩擦损失，但代价是增加了打印头的质量。这导致惯性增加：
\[a_{max} = \frac{F_{motor} - F_{friction,linear}}{m_{printhead} + m_{extruder}}\]因此存在速度-精度的权衡。
熔融段的能量平衡：
\[\dot{m} \cdot c_p \cdot (T_{melt} - T_{feed}) + \dot{m} \cdot H_f = \dot{Q}_{heater} - \dot{Q}_{loss}\]其中：
熔融区的长度$L_{melt}$是关键参数，它决定了最大挤出速率。根据Tadmor模型，熔融长度与进料速度的关系为：
\[L_{melt} = \frac{k(T_{heater} - T_{melt})}{\dot{m}c_p} \cdot \ln\left(\frac{T_{heater} - T_{feed}}{T_{heater} - T_{melt}}\right)\]当$L_{melt}$超过加热块长度时，会出现未完全熔化的“硬芯”，导致挤出不均匀或堵头。这就是为什么高速打印需要更长的加热区或更高的温度。
热损失主要通过三种途径：(1)向散热器的导热；(2)向环境的对流和辐射；(3)通过丝材的轴向导热。热管理（heat break）的设计就是为了最小化第三种损失：
\[\dot{Q}_{axial} = kA\frac{dT}{dx} \approx \frac{kA(T_{hot} - T_{cold})}{L_{heatbreak}}\]通常使用低热导率材料（如不锈钢、钳合金）制作热管理。
喷嘴流动遵循Hagen-Poiseuille定律（假设牛顿流体）：
\[\Delta P = \frac{8 \mu L Q}{\pi r^4}\]其中：
然而，大多数热塑性聚合物呈现非牛顿流体特性，特别是剪切变稀。粘度与剪切速率的关系可用Power-law模型描述：
\[\mu(\dot{\gamma}) = K\dot{\gamma}^{n-1}\]其中K是稠度系数，n是流动指数（n < 1表示剪切变稀）。对于大多数FDM材料，n在0.3-0.6之间。
考虑非牛顿效应后的压降修正为：
\[\Delta P = \frac{2KL}{r}\left(\frac{3n+1}{n}\right)^n\left(\frac{Q}{\pi r^3}\right)^n\]这表明压降与流量的关系不再是线性的，而是幂次关系。这对于设计挤出系统和预测最大挤出速率具有重要意义。
温度对粘度的影响可用Williams-Landel-Ferry (WLF)方程描述：
\[\log\left(\frac{\mu(T)}{\mu(T_r)}\right) = -\frac{C_1(T-T_r)}{C_2+(T-T_r)}\]其中$T_r$是参考温度，$C_1$、$C_2$是WLF常数。这解释了为什么温度的微小变化会显著影响挤出行为。
挤出的熔融材料会发生膨胀（die swell），膨胀比B定义为：
\[B = \frac{D_{extrudate}}{D_{nozzle}} = 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{\tau_w}{\sigma_y}\right)^{0.5}\]其中$\tau_w$是壁面剪切应力，$\sigma_y$是屈服应力。
Die swell的物理机制源于弹性回复。聚合物链在喷嘴内部受到剪切变形后储存了弹性能，离开喷嘴后这部分能量释放，导致径向膨胀。Weissenberg数可以表征这种弹性效应：
\[Wi = \lambda \dot{\gamma} = \lambda \frac{4Q}{\pi r^3}\]其中$\lambda$是松弛时间。当Wi > 1时，弹性效应主导，die swell显著。
实际挤出宽度的预测需要考虑多个因素：
\[w_{actual} = D_{nozzle} \cdot B \cdot f_{stretch} \cdot f_{gravity}\]其中：
这些因子解释了为什么实际挤出宽度通常是喷嘴直径的1.1-1.3倍。
冷却过程的体积收缩率：
\[\varepsilon_v = \alpha \cdot (T_{extrude} - T_{ambient}) + \beta \cdot \chi\]其中：
收缩应力的积累是翁曲的主要原因。每一层的收缩都会在前一层中产生内应力。当积累应力超过床面附着力时：
\[\sigma_{accumulated} = E\alpha\Delta T \cdot n_{layers} > \tau_{adhesion}\]就会发生翁曲。预防翁曲的策略包括：(1)加热床减小ΔT；(2)使用低收缩率材料；(3)优化零件取向减小截面积；(4)添加brim或raft增加附着面积。
层间结合强度取决于分子链扩散和缠结，可用reptation理论描述：
\[\sigma_{bond} = \sigma_{bulk} \cdot \left(\frac{t_{contact}}{t_{reptation}}\right)^{1/4}\]其中reptation时间：
\[t_{reptation} = \frac{\zeta N^3 b^2}{k_B T}\]层间结合的微观过程可分为五个阶段：
界面温度的演化可用半无限体热传导模型近似：
\[T_{interface}(t) = T_{new} - (T_{new} - T_{old})\cdot\text{erfc}\left(\frac{z}{2\sqrt{\alpha t}}\right)\]其中erfc是互补误差函数。当$T_{interface} > T_g$的时间越长，结合强度越高。
扩散深度可用de Gennes的scaling理论估算：
\[\delta(t) \sim \left(\frac{Dt}{N}\right)^{1/4} \cdot N^{1/2}b\]其中D是链段扩散系数。当$\delta$超过回转半径$R_g$时，才能形成有效的机械缠结。
温度对结合的影响通过Arrhenius关系描述：
\[D(T) = D_0 \exp\left(-\frac{E_a}{RT}\right)\]结合强度的实验测量通常使用拉伸、剪切或剥离测试。结果表明，层间结合强度通常只有本体强度的20-80%。影响因素包括：
最大打印速度受多个因素限制：
熔化速率限制： \(v_{max,melt} = \frac{\dot{Q}_{heater}}{\rho \cdot A_{filament} \cdot (c_p \Delta T + H_f)}\)
挤出力限制： \(v_{max,force} = \frac{F_{max} \cdot \pi r_{nozzle}^4}{8 \mu L A_{filament}}\)
运动系统限制： \(v_{max,motion} = \min(v_{max,x}, v_{max,y}, \sqrt{a_{max} \cdot r_{corner}})\)
实际最大速度： \(v_{print,max} = \min(v_{max,melt}, v_{max,force}, v_{max,motion})\)
每个限制因素在不同情况下会成为瓶颈：
熔化速率瓶颈通常出现在：
解决方案：增加加热功率、提高温度、使用火山喷嘴（增加加热区长度）。
挤出力瓶颈常见于：
解决方案：使用高扭矩挤出机、直驱系统、优化温度。
运动系统瓶颈主要影响：
加速度限制由步进电机扭矩和惯性决定：
\[a_{max} = \frac{\tau_{motor} \cdot i_{reduction} \cdot \eta}{(m_{moving} + \frac{J_{rotor}}{r_{pulley}^2}) \cdot r_{pulley}}\]其中$J_{rotor}$是转子转动惯量，η是传动效率。
速度波动对质量的影响可用脉动流量模型描述：
\[Q(t) = Q_0(1 + A\sin(\omega t))\]其中A是波动幅度，ω是频率。这会导致表面波纹（ghosting/ringing），可通过输入整形（input shaping）抑制。
光聚合3D打印通过紫外光引发液态树脂的聚合反应实现选择性固化。理解其反应动力学对于控制固化深度和精度至关重要。
光聚合技术的发展经历了多个阶段：从最早的点扫描SLA，到面曝光DLP，再到连续CLIP技术。每次技术迭代都是对光化学反应控制的深化理解。
光聚合的本质是将光子能量转化为化学键能。这个过程的量子效率Φ决定了能量利用率：
\[\Phi = \frac{\text{number of reacted molecules}}{\text{number of absorbed photons}}\]对于高效光引发剂，Φ可以大于1（链式反应），但通常在0.1-0.5之间。这意味着大部分光能被转化为热能，需要考虑热效应。
自由基光聚合包含三个步骤：
引发（Initiation）： \(PI \xrightarrow{h\nu} PI^* \rightarrow R^\bullet\)
引发速率： \(R_i = 2f\phi I_0 [PI] \left(1 - e^{-2.303\varepsilon[PI]z}\right)\)
其中：
光引发剂的选择至关重要。理想的光引发剂应具有：
常用的光引发剂包括：
增长（Propagation）： \(R_n^\bullet + M \xrightarrow{k_p} R_{n+1}^\bullet\)
增长速率： \(R_p = k_p[M][R^\bullet]\)
终止（Termination）： \(R_n^\bullet + R_m^\bullet \xrightarrow{k_t} P_{n+m}\)
终止速率： \(R_t = 2k_t[R^\bullet]^2\)
Jacob工作曲线描述固化深度与曝光剂量的关系：
\[C_d = D_p \ln\left(\frac{E}{E_c}\right)\]其中：
透射深度由Beer-Lambert定律决定：
\[D_p = \frac{1}{2.303(\varepsilon_{PI}[PI] + \varepsilon_{resin}[resin])}\]但实际情况更复杂。树脂的光学性质会随着固化发生变化：
\[\varepsilon(\alpha) = \varepsilon_0(1-\alpha) + \varepsilon_{polymer}\alpha\]其中α是转化率。这种变化导致固化前沿不是理想的阶跃，而是渐变过渡。
横向固化宽度也遵循类似规律：
\[W_c = W_p \ln\left(\frac{E_{max}}{E_c}\right)\]其中$W_p$是光束半宽，$E_{max}$是光束中心强度。这解释了为什么实际线宽大于光束直径。
氧气作为自由基清除剂会抑制聚合：
\[R^\bullet + O_2 \xrightarrow{k_{O_2}} ROO^\bullet\]氧阻聚层厚度：
\[\delta_{O_2} = \sqrt{\frac{D_{O_2}[O_2]}{k_{O_2}[R^\bullet]}}\]其中$D_{O_2}$是氧气扩散系数（~10⁻⁵ cm²/s）。
CLIP技术利用氧阻聚创建”死区”实现连续打印：
\[h_{dead} = \sqrt{\frac{2D_{O_2}[O_2]_0}{R_i}}\]DLP系统的理论分辨率：
\[\Delta x = \frac{L_{build}}{N_{pixels}}\]实际分辨率受光散射影响：
\[PSF(r) = \frac{I_0}{2\pi\sigma^2} \exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)\]其中点扩散函数的标准差：
\[\sigma = \sqrt{\sigma_{optical}^2 + \sigma_{scatter}^2 + \sigma_{diffusion}^2}\]选择性激光烧结/熔化技术通过高能激光束选择性加热粉末床，实现颗粒间的烧结或完全熔化。
激光能量吸收遵循Beer-Lambert定律：
\[I(z) = I_0 (1-R) e^{-\alpha z}\]其中反射率R与入射角相关（Fresnel方程）：
\[R = \frac{1}{2}\left[\frac{(n-1)^2 + k^2}{(n+1)^2 + k^2} + \frac{(n-1/\cos\theta)^2 + k^2}{(n+1/\cos\theta)^2 + k^2}\right]\]有效吸收系数考虑多重散射：
\[\alpha_{eff} = \alpha_{bulk} \cdot \frac{1-\rho_{powder}}{\rho_{powder}} \cdot \frac{1}{1-R_{multiple}}\]熔池温度场由热传导方程描述：
\[\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k\nabla T) + Q\]移动热源的准稳态解（Rosenthal解）：
\[T(r) - T_0 = \frac{Q}{2\pi kr} \exp\left(-\frac{v(r+x)}{2\alpha}\right)\]其中热扩散率： \(\alpha = \frac{k}{\rho c_p}\)
熔池尺寸估算：
\[W_{melt} = 2\sqrt{\frac{2P}{\pi e \rho c_p v (T_m - T_0)}}\] \[D_{melt} = \frac{P}{\pi k(T_m - T_0)}\]两球烧结的颈部生长遵循Frenkel模型：
\[\left(\frac{x}{a}\right)^2 = \frac{3\gamma t}{2\eta a}\]其中：
对于晶体材料的扩散烧结（Coble模型）：
\[\left(\frac{x}{a}\right)^5 = \frac{40D_s\gamma\Omega t}{k_B T a^3}\]其中$D_s$是表面扩散系数，$\Omega$是原子体积。
快速凝固产生的热应力：
\[\sigma_{thermal} = E\alpha(T_{solidus} - T_{ambient})\]温度梯度引起的应力：
\[\sigma_{gradient} = \frac{E\alpha}{1-\nu} \int_0^L \frac{\partial T}{\partial z} dz\]变形预测（简化梁模型）：
\[\delta = \frac{M L^2}{2EI}\]其中弯矩$M = \sigma \cdot h \cdot t$。
3D打印的三个核心指标——精度、速度、成本——存在内在的权衡关系。理解这种关系对于选择合适的技术和优化参数至关重要。
打印精度与速度的关系可用以下模型描述：
\[\varepsilon = \varepsilon_0 + k_v \cdot v^n\]其中：
动态误差来源：
振动误差： \(\varepsilon_{vibration} = \frac{F_{inertia}}{k_{stiffness}} = \frac{ma}{k}\)
热误差： \(\varepsilon_{thermal} = L \cdot \alpha \cdot \Delta T(v)\)
其中温升与速度相关： \(\Delta T(v) = \frac{P_{motor}(v)}{\dot{m}_{coolant} c_p}\)
控制误差： \(\varepsilon_{control} = \frac{v \cdot T_{sample}}{2}\)
单位体积的打印成本：
\[C_{unit} = \frac{C_{machine}}{V_{lifetime}} + \frac{C_{material}}{U_{material}} + \frac{C_{labor} \cdot t_{print}}{V_{part}} + C_{energy}\]打印时间与速度的关系：
\[t_{print} = \frac{V_{part}}{v_{deposit} \cdot A_{cross}} + t_{travel} + t_{setup}\]吞吐量优化：
\[\text{Throughput} = \frac{V_{build} \cdot \rho_{packing}}{t_{print} + t_{post}}\]其中打包密度$\rho_{packing}$取决于零件几何和排布算法。
实现更高精度的成本呈指数增长：
\[C_{machine}(\varepsilon) = C_0 \cdot \left(\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right)^\beta\]其中$\beta$通常为2-3。
精度相关的运营成本：
校准成本： \(C_{calibration} = f_{calibration}(\varepsilon) \cdot t_{calibration} \cdot C_{labor}\)
质检成本： \(C_{QC} = P_{defect}(\varepsilon) \cdot C_{rework}\)
缺陷率与精度的关系： \(P_{defect} = 1 - \exp\left(-\left(\frac{\sigma_{process}}{\text{tolerance}}\right)^2\right)\)
综合优化目标函数：
\[F = w_1 \cdot \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{target}} + w_2 \cdot \frac{t_{print}}{t_{target}} + w_3 \cdot \frac{C_{total}}{C_{budget}}\]约束条件：
Pareto前沿可通过多目标优化算法（如NSGA-II）求解。
基于应用需求的技术选择：
应用场景 精度权重 速度权重 成本权重 推荐技术
原型验证 0.3 0.5 0.2 FDM/SLA
功能测试 0.5 0.2 0.3 SLA/SLS
批量生产 0.2 0.3 0.5 FDM/Binder
医疗植入物 0.8 0.1 0.1 SLM/EBM
艺术品 0.6 0.1 0.3 PolyJet/SLA
层厚是3D打印的基本参数，直接影响表面质量、打印时间和机械性能。理解其理论极限有助于优化打印策略。
倾斜表面的阶梯误差：
\[e_{stair} = \frac{h}{2} \sin\theta\]其中$h$是层厚，$\theta$是表面与水平面的夹角。
表面粗糙度Ra的理论值：
\[Ra = \frac{h}{4} |\cos\theta|\]考虑材料流动和表面张力后的修正：
\[Ra_{actual} = Ra_{theoretical} \cdot f_{material}(\mu, \gamma)\]不同技术的最小层厚受不同因素限制：
FDM/FFF：
SLA/DLP：
SLS/SLM：
基于曲率的自适应层厚：
\[h(z) = h_{min} + (h_{max} - h_{min}) \cdot \exp\left(-\kappa^2/\kappa_0^2\right)\]其中曲率： \(\kappa = \frac{|f''(z)|}{(1 + f'(z)^2)^{3/2}}\)
误差约束下的最优层厚：
\[h_{opt} = \sqrt{\frac{2\varepsilon_{allowed}}{|\sin\theta \cdot \cos\theta|}}\]3D打印的分辨率具有各向异性：
分辨率张量表示：
\[R = \begin{bmatrix} \Delta_x & 0 & 0 \\ 0 & \Delta_y & 0 \\ 0 & 0 & \Delta_z \end{bmatrix}\]有效各向同性分辨率： \(\Delta_{iso} = (\Delta_x \cdot \Delta_y \cdot \Delta_z)^{1/3}\)
物理极限：
实际限制因素：
未来发展方向：
本章系统介绍了3D打印技术的基础原理和数学模型，主要内容包括：
关键公式汇总：
习题1.1 FDM打印机使用直径1.75mm的PLA丝材，喷嘴直径0.4mm，熔融段长度10mm。若PLA熔体粘度为200 Pa·s，计算在体积流率Q = 10 mm³/s时的压降。
习题1.2 DLP打印机使用405nm紫外光，树脂的透射深度Dp = 150 μm，临界曝光剂量Ec = 10 mJ/cm²。要实现100 μm的固化深度，需要多少曝光剂量？
习题1.3 SLS系统使用功率P = 50W的激光，扫描速度v = 1000 mm/s，材料熔点Tm = 180°C，环境温度T0 = 25°C。假设材料热导率k = 0.2 W/(m·K)，估算熔池深度。
习题1.4 计算45°倾斜表面使用0.2mm层厚打印时的理论表面粗糙度Ra。
习题1.5 某FDM打印机的最大挤出速率为15 mm³/s，喷嘴直径0.6mm，打印速度60 mm/s。计算：(a) 最大可用层厚；(b) 若使用0.3mm层厚，最大打印速度是多少？考虑挤出宽度为喷嘴直径的1.2倍。
习题1.6 设计一个自适应层厚算法，使得表面阶梯误差始终小于0.05mm。模型表面角度在0°到75°之间变化，可用层厚范围0.1-0.3mm。推导层厚与表面角度的关系式。
习题1.7 光聚合3D打印中，树脂的吸光系数ε = 0.01 μm⁻¹，光引发剂浓度[PI] = 0.02 mol/L。若要控制固化深度在200±10 μm范围内，曝光剂量的容差是多少？假设Dp = 100 μm，Ec = 8 mJ/cm²。
习题1.8 某打印服务需要在精度≤0.1mm、成本≤$50/kg、速度≥20 cm³/h的约束下选择技术。已知各技术参数如题干所述，用线性规划方法确定可行技术集合。若客户最看重精度（权重0.6），速度次之（0.3），成本最后（0.1），推荐哪种技术？