不同游戏类型表面上共享攻击、资源和概率，实际却由完全不同的时间尺度、信息结构与失败成本支配。放置游戏要管理跨数量级增长，卡牌游戏要管理牌序与资源曲线，MOBA 要控制优势反馈，大逃杀要把空间压力转成节奏，自走棋和 Roguelike 则要让随机性产生适应而非判决。本章从各类型的核心状态变量出发，建立可比较的数值模型，并讨论类型混合时的接口风险。
任何类型都可先画出循环：
投入资源/时间 → 做出决策 → 获得反馈 → 状态变化 → 新决策空间
↑ │
└───────────────────────────────────────────┘
类型差异在于：状态是否持久、决策是否实时、信息是否完全、随机发生在决策前还是决策后、失败会损失多少。
| 类型 | 核心稀缺资源 | 主要时间尺度 | 失败契约 |
|---|---|---|---|
| 放置 | 时间、增长倍率 | 小时到数月 | 进度变慢，很少全失 |
| 卡牌 | 手牌、费用、牌库 | 回合 | 单局清空，知识保留 |
| MOBA | 金钱、经验、地图时间 | 分钟 | 单局清空，段位变化 |
| 大逃杀 | 生存空间、装备、信息 | 秒到分钟 | 单局淘汰 |
| 自走棋 | 金币、血量、共享卡池 | 回合 | 血量缓冲后淘汰 |
| Roguelike | 生命、机会成本、构筑槽位 | 房间到单局 | 局内重置，部分局外成长 |
把资源分为存量 $S_t$ 与流量 $F_t$：
\[S_{t+1}=S_t+F_t^{in}-F_t^{out}\]更重要的是反馈符号：优势是否提高未来资源获取？若是正反馈，系统会滚雪球；若落后者获得追赶，则有负反馈。正反馈能让决策有后果，过强则让后半局失去悬念；负反馈能维持竞争，过强则让前期努力失去意义。
输入随机通常更支持策略适应；输出随机更制造悬念，但可能削弱控制感。评价随机性时要问：玩家何时获得信息、能否调整、失败后能否归因。
许多现代游戏同时有 20 分钟战斗、每日体力、月度赛季和多年收藏。不同尺度不应互相绑架：每日资源可以鼓励尝试，但不应让单局竞技结果主要由长期付费存量决定。
设计时分别建立各尺度预算，再定义接口上限。例如局外成长只提供玩法解锁，局内力量差限制在 $\epsilon$ 以内。
最简单的离散增长为：
\[R_{t+1}=R_t+q_t\Delta t\]若产能 $q_t$ 又按资源购买并呈倍率增长，长期近似指数：
\[R(t)=R_0e^{gt}\]指数增长的体验来自跨越数量级。直接用线性图观察会被后期数值压扁，分析应使用对数：
\[L(t)=\log_b R(t)\]$L$ 的斜率表示每单位时间跨越多少个 $b$ 进制数量级。
第 $n$ 个生产器的成本可设为：
\[C_n=C_0r^n,\quad r>1\]购买后增加产能 $\Delta q_n$，回本时间为：
\[T_{payback}=\frac{C_n}{\Delta q_n}\]若回本时间持续缩短，玩家会无脑购买；持续变长则形成软墙。好的选择来自不同生产器在当前倍率、协同和时间窗口下回本顺序变化。
软墙不是停止增长，而是边际速度下降，促使玩家寻找新乘区、自动化或重置。常见控制手段：
软墙过陡会让游戏变成等待；过平则内容在数小时内耗尽。应跟踪“跨越下一数量级所需时间”的分布。
转生用局内进度换永久倍率。若本轮峰值为 $R_{max}$，可设：
\[P=\left\lfloor k\left(\frac{R_{max}}{R_*}\right)^\alpha\right\rfloor,\quad 0<\alpha<1\]永久倍率例如：
\[M(P)=1+cP^\beta\]转生时机的核心是机会成本：继续本轮的边际收益与立即重置后的加速谁更高。界面应预估“重置后达到当前进度的时间”，让决定可理解。
若离线收益与在线完全相同，玩家可能缺少互动理由；若过低，则惩罚正常休息。可用前 $H$ 小时全额、之后递减：
\[G_{offline}(t)=q\left[\min(t,H)+\eta\max(0,t-H)\right],\quad 0\le\eta<1\]活跃玩法应提供策略选择、短期加速或自动化解锁，而不是要求持续点击维持基本效率。
超过常规数值范围时，可存储尾数与指数：
\[R=m\times10^e,\quad 1\le m<10\]比较先看指数，再看尾数；相差过大的加法可忽略小项，但要明确误差边界。展示可使用科学计数或稳定后缀，避免同一数量级在不同界面使用不一致缩写。
卡牌对局通常同时管理：
一张牌的价值不能只按面板相加。粗略地：
\[V=V_{tempo}+\lambda_hV_{hand}+\lambda_sV_{synergy}+\lambda_fV_{flexibility}\]费用低但占用一张牌的效果可能亏卡；高费强牌若无法活到使用回合，则理论价值无意义。
构筑的费用曲线决定前几回合是否有事可做。若牌库 $N$ 张，其中满足某条件的牌有 $K$ 张，起手抽 $n$ 张，至少一张命中的概率为超几何分布：
\[P(X\ge1)=1-\frac{\binom{N-K}{n}}{\binom{N}{n}}\]换牌、抽牌和先后手会改变实际概率。设计起手系统时应关注“可执行计划概率”，而不仅是某张关键牌上手率。
先手通常先使用资源并建立场面，后手可能多抽一张或获得临时资源作为补偿。补偿过弱，先手滚雪球；过强，后手组合爆发。
可测：
\[A_{first}=P(Win\mid first)-P(Win\mid second)\]并按套牌速度、技能段和对局时长分层。总体接近零仍可能掩盖快攻先手优势和控制套牌后手优势。
普通抽牌增加手牌和选择；定向检索同时减少牌库不确定，价值更高。组合由 $k$ 个组件构成时，额外检索会非线性提高同时集齐概率，容易让高上限 Combo 过于稳定。
平衡检索应考虑：目标集合大小、费用、节奏损失、是否可重复、是否压缩牌库，以及失败时是否仍有价值。
卡牌随机可以制造重玩性，但应有可推理边界。设计轴包括：
“发现/三选一”把输出随机转为输入随机，通常提升决策性。随机池应版本化，并防止随着卡池扩大无意漂移。
健康环境不要求每套牌完全等胜率，而要求存在多条可反制路线、合理选择成本和技能表达。可同时监控套牌选择熵、对阵矩阵、极端劣势对局占比和高低技能段差异。
一张卡若在所有同费用套牌中自动加入，说明它的机会成本太低；即使总体胜率不高，也会压缩构筑空间。
玩家力量通常来自等级和装备：
\[P_i(t)=f(G_i(t),XP_i(t),K_i(t),\text{Build}_i)\]金币来源包括稳定收入、兵线、野区、击杀与地图目标。稳定收入降低早期失败惩罚；争夺资源制造对抗。资源分布还决定位置职责，若辅助必须放弃全部成长，体验会过度依赖队友认可。
击杀带来金币、经验、地图时间和目标控制，是多重正反馈。领先差 $D_t$ 可近似：
\[D_{t+1}=D_t+\alpha D_t+\epsilon_t-C(D_t)\]$\alpha D_t$ 表示领先提高未来获取，$C(D_t)$ 是终结赏金、目标交换等追赶机制。目标不是让 $D_t$ 自动归零，而是让落后方仍有高风险、高信息的翻盘路径。
赏金应反映可兑现领先，而非仅连杀数。过高会让领先者不敢互动，或让队伍故意把赏金交给低价值位置。可参考个人经济超额、连续贡献和团队差距，并设置增长/衰减平滑：
\[B_i=B_0+g(\max(0,G_i-\tilde G_{role,t}))\]击杀者收益、助攻分配和被击杀者损失要一起模拟，防止净转移过大。
地图目标的价值包括直接奖励、区域控制和对手机会成本：
\[V_{obj}=V_{direct}+V_{map}+V_{tempo}-C_{risk}-C_{lost\ farm}\]若所有目标同时间刷新，策略会收敛到唯一团战；错开目标、提供跨图交换能增加决策。永久团队增益需要谨慎，因为它同时放大当前领先和未来目标能力。
领先不等于能结束会造成拖局；结束工具过强又让一次失误直接终局。应观察领先条件下的剩余时长分布、基地推进成功率和高地防守收益。
结束机制可以随时间增强，但不能突然使前面决策无意义。超级兵、复活时间和终局目标共同构成“结束预算”。
只用击杀和伤害奖励会低估视野、控制、承伤与资源让渡。位置专属任务或团队分成可让低经济角色有稳定成长，但要防止任务化行为与胜利目标冲突。
贡献评价应优先用于反馈和诊断，谨慎直接决定排位分；可刷指标会改变玩家行为。
安全区把大地图逐步压缩为相遇概率。若第 $k$ 阶段半径为 $r_k$，面积为：
\[A_k=\pi r_k^2\]半径减半意味着面积变为四分之一。线性缩半径会让密度非线性上升，因此圈缩表应按面积、剩余人数与移动时间共同设计。
阶段 $k$ 的有效压力取决于圈外伤害 $d_k$、持续时间、治疗效率和最远移动距离：
\[Pressure_k=\frac{d_k\cdot T_{outside}}{HP+H_{available}}\]若最坏出生点在合理装备下无法到达安全区，随机圈成为判决。交通工具、地形、速度与交战延迟都应进入可达性模拟。
区域 $z$ 的期望资源价值为：
\[E[L_z]=\sum_j n_{zj}p_{zj}v_j\]高价值区吸引更多玩家，形成高风险高回报。平衡不仅看期望，还看武器可用率、同队资源、最差尾部和路径连通性。过度集中会让开局命运由落点抢枪决定；过度均匀则地图选择失去意义。
射击游戏的先见、先手与网络延迟已经产生优势，装备差会乘法放大。高级装备可增加功能和容错，但基础武器应保留通过技巧翻盘的窗口。
TTK（击杀时间）是关键体验量：
\[TTK\approx\frac{HP_{effective}}{DPS_{effective}}\]需按命中率、距离、护甲、爆头和掩体分布模拟，而不是只用理论弹匣 DPS。
若积分几乎只看生存，玩家会回避互动；只看击杀，则“大逃杀”退化为死亡竞赛。可设：
\[Score=w_pR_{placement}+w_kK_{quality}+w_aA_{team}\]击杀质量应避免刷弱队和重复击倒；排名分应平滑，减少单一名次断崖。赛事与普通排位可以有不同风险偏好，但规则必须清楚。
自走棋商店不是独立抽卡。某费用层总剩余卡数为 $N_t$，目标单位剩余 $K_t$，单个商店格在该费用层命中概率近似：
\[p_t=\frac{K_t}{N_t}\]其他玩家购买目标单位会降低 $K_t$，形成可观察竞争。计算实际命中还需乘以当前等级抽到该费用层的概率。
若一次刷新有 $m$ 个近似独立格，每格命中概率为 $p$，$r$ 次刷新至少命中一次的近似概率：
\[P(\text{hit})=1-(1-p)^{mr}\]实际格子因不放回抽取、同店规则和共享池变化并不完全独立，此公式适合直觉估计，精确值应由超几何或模拟得到。
金币既能当前刷新提升战力，也能保留获得利息：
\[G_{t+1}=G_t-C_{roll}-C_{buy}+I(G_t)+S_{streak}+G_{base}\]这形成健康的时序选择。连败奖励给落后者经济，却可能诱导故意卖血；血量就是为这种选择定价的预算。若卖血几乎无淘汰风险，连败成为占优策略。
升级提高高费卡概率和上阵人口，刷新提高当前阵容星级。两者回报随血量、竞争、阵容上限和回合阶段变化。健康设计不应存在所有阵容共享的唯一“某回合必升”答案；版本可有宏观节奏，但阵容与局势应改变阈值。
随机装备可能锁定阵容。若合成不可逆且前期必须立即做决定，玩家会因未知未来被惩罚。可通过通用组件、有限拆卸、替换道具和多英雄适配降低锁死。
转型成本应让早期选择有意义，但不能高到商店不给核心卡就只能等死。板凳容量、卖卡折损与共享池共同决定可选空间。
Roguelike 接受失败与重来，但玩家仍期待：
“随机”不是免除平衡责任，而是要求平衡分布和条件概率。
三选一、分支地图和可预览敌人让随机生成问题，玩家负责解题。攻击后随机决定是否失效，则可能推翻正确决策。输出随机可以存在，但应有管理工具：重掷、保底、缓冲资源或对冲 Build。
当玩家已有火焰构筑时，连续提供只支持冰冻的奖励会稀释选择。可按标签调节候选池，但完全迎合会让每局自动完成同一套路。
可混合：
\[P(item\mid state)=\alpha P_{synergy}+(1-\alpha)P_{global}\]$\alpha$ 控制协同倾向。还需保留转型信号和通用选项，并限制同一无效类别连续出现。
为路线 $r$ 定义资源净变化：
\[\Delta H_r=H_{gain}+V_{reward}-D_{expected}-C_{opportunity}\]生成器要控制连续高损耗节点、商店间距、治疗可达性和 Boss 前准备。平均路线可行不足以保证每个种子可行；应检查最坏分位和不可恢复状态。
永久成长能缓解失败并提供长期目标，但过强会让“失败直到数值够高”替代学习。可优先解锁新选项、起始选择和信息能力，将纯属性加成设上限。
应分别测零成长、典型成长和满成长通关率，并检查敌人是否被迫随元成长同步膨胀。若两边一起涨，数字增加却没有新决策。
普通单人模式允许种子差异形成故事；每日挑战和排行榜则需要相同种子或按种子难度校正。相同种子仍可能因平台、版本和随机调用顺序产生差异，因此必须锁定配置与生成规则。
“放置 + Roguelike + 卡牌 + PVP”并不会自动叠加四种乐趣。必须选择主循环，其余系统回答明确问题：
若删除某子系统，主循环体验几乎不变，它很可能只是负担。
多个随机层会放大尾部。例如先随机角色、再随机装备、再随机词缀、最后战斗暴击。虽然每层方差不大，总结果可能高度不稳定。
若独立乘数为 $X_1,\ldots,X_n$，总倍率 $Y=\prod_iX_i$，则对数方差相加：
\[\operatorname{Var}(\ln Y)=\sum_i\operatorname{Var}(\ln X_i)\]应给不同随机层分工，并在至少一层提供选择、保底或纠偏。
竞技 Roguelike 或卡牌 PVP 若把长期抽取直接带入单局，会让匹配难以修复公平。常见隔离方式：
放置系统鼓励等待，竞技系统要求集中实时参与；每日任务可能迫使玩家在不合适时进入长局。跨类型设计要公开单局长度、保存/暂停能力和领取窗口，避免多个时间机制同时索取注意力。
某放置游戏每 6～10 小时遇到一次软墙，转生后回到当前进度需 20 分钟。若永久倍率让回归时间快速缩短到 30 秒，重置失去决策；若始终需要 4 小时，玩家感受不到进步。
应同时跟踪转生间隔、回归旧峰值时间、每次跨数量级时间和最优/次优策略差距，用新机制改变路线而不只提高倍率。
一套三件 Combo 原本强但不稳定。版本新增两张低费定向检索后，平均面板没有变化，Combo 却几乎每局准时完成。问题不在组件单卡强度，而在联合到手概率和检索的机会成本。
调整可以针对检索范围、费用和节奏损失，或提供可交互窗口，而不必删除 Combo 身份。
某版本提高终结赏金后，领先方开始刻意避战，落后方只需击杀一次核心就逆转全部经济。比赛前期的资源决策因此失去价值。更合理的做法是把追赶价值分散到多个高风险目标，限制单次净转移，并让领先方能通过信息与协作管理风险。
大逃杀的落点随机和自走棋的共享池都不是独立抽样。前者通过地图选择、航线信息和资源密度让玩家管理风险；后者通过侦察对手和转型管理竞争。两者共同原则是：随机状态必须可观察到足以支持后续决策。
代表作适合用于识别机制，不适合直接抄数值。可以带着同一组问题体验不同产品：
| 类型与代表作 | 重点观察 | 不应脱离语境复制的部分 |
|---|---|---|
| 放置：《Cookie Clicker》 | 乘区、里程碑与数量级节奏 | 具体增长底数与点击频率 |
| 卡牌：《炉石传说》《杀戮尖塔》 | 费用/牌差与三选一构筑 | 卡池规模、先后手或局外解锁 |
| MOBA：《英雄联盟》《DOTA 2》 | 兵线、地图目标与结束能力 | 击杀赏金和对局时长参数 |
| 大逃杀：《PUBG》 | 圈缩、落点风险与装备梯度 | 地图尺度、TTK 与移动速度 |
| 自走棋：《云顶之弈》 | 利息、共享池、升级/刷新取舍 | 费用层概率与卡池张数 |
| Roguelike：《Hades》 | 输入随机、失败反馈与局外成长 | 永久属性和叙事节奏 |
比较时先记录核心循环、信息时点、资源守恒和失败契约，再分析参数。相同公式放入不同单局长度、操作系统或商业模式，可能产生相反体验。
练习16.1 某放置生产器售价 10 万金币，购买后每秒增加 500 金币。忽略其他倍率，回本时间是多少？若下一级售价乘 1.15、产能只乘 1.05，长期会发生什么？
提示：回本时间等于成本除以新增产能。
练习16.2 30 张牌库中有 6 张二费可行动牌，起手 4 张且不换牌。至少抽到一张的概率如何表示？
提示：先算一张都没有的概率。
练习16.3 大逃杀安全区半径从 1,000 米缩到 500 米，面积和单位面积玩家密度如何变化？假设人数不变。
提示：面积与半径平方成正比。
练习16.4 自走棋某费用层剩余 100 张牌，其中目标单位 5 张。一次商店 5 格都来自该费用层，按独立近似至少命中一张的概率是多少？
提示：使用 $1-(1-p)^m$；说明近似限制。
练习16.5 设计一个 MOBA 追赶机制，使落后 5,000 金的队伍仍有翻盘机会，但不能让领先无意义。给出触发、收益、风险和防套利规则。
提示：把追赶分散到需要主动争夺的目标，而非自动发钱。
练习16.6 某 Roguelike 有“火焰、冰冻、召唤”三类构筑。纯均匀奖励经常给无效选项，完全按当前标签奖励又让每局自动成型。设计混合池和纠偏机制。
提示：在协同、通用和转型之间分配候选位。
练习16.7 一款“放置 + PVP”游戏允许玩家把永久产能兑换成竞技属性。分析主要冲突，并提出隔离方案。
提示：比较两种类型的时间契约和公平契约。
练习16.8 某卡牌游戏先手总体胜率 50.2%，团队据此认为先后手平衡。你会做哪些分解？若发现快攻先手 58%、控制后手 57%，如何处理？
提示：总体平均可能由方向相反的问题抵消。
后期大数会掩盖早期变化。使用对数进度、跨数量级时间、回本时间和转生回归时间共同观察。
费用时机、牌差、灵活性和检索稳定性可能远比面板重要。用真实对局阶段和组合概率评估。
无风险追赶削弱领先价值并诱导拖延。追赶资源应可争夺、可反制、分次兑现且有上限。
半径与面积是平方关系，移动可达性还受地形和交战影响。用面积密度和最坏路线模拟每个阶段。
自走棋概率随其他玩家持有和卖回实时变化。界面、AI 和测试工具必须读取同一权威池状态。
平均可通关不代表每个生成结果公平。搜索连续高损耗、无关键资源和不可恢复状态，给生成器设置硬约束。
新增货币、签到和随机词缀不等于新增类型深度。每个子系统必须改变主循环中的有意义决策，并服从同一失败契约。
每层看似温和，总尾部仍可能极端。分析联合分布，在不同层分配“惊喜、选择、保底和纠偏”的职责。