new_games_101

第8章：全局光照

全局光照（Global Illumination）是计算机图形学中最具挑战性的问题之一。与局部光照不同，全局光照考虑了光线在场景中的多次反射、折射和散射，能够生成逼真的视觉效果，如软阴影、颜色渗透（color bleeding）、焦散（caustics）等。本章将从辐射度量学的基础出发，推导渲染方程，并介绍蒙特卡洛方法在求解全局光照中的应用。

8.1 辐射度量学

辐射度量学（Radiometry）是描述光能传播的物理框架。理解这些概念对于正确实现基于物理的渲染至关重要。

8.1.1 基本概念

辐射度量学中的物理量形成了一个层次结构，从能量开始，逐步引入时间、空间和方向的微分。理解这些量之间的关系对于正确实现基于物理的渲染至关重要。

辐射能量（Radiant Energy）

辐射功率/辐射通量（Radiant Power/Flux）

辐射强度（Radiant Intensity）

辐照度（Irradiance）

辐射出射度（Radiant Exitance）

辐射度（Radiance）

8.1.2 辐射度的性质

辐射度是渲染中最重要的量，具有以下关键性质：

  1. 方向性与五维函数
    • 辐射度是位置和方向的函数：$L(\mathbf{p}, \omega)$ 或 $L(x, y, z, \theta, \phi)$
    • 这是一个五维函数（3D位置 + 2D方向）
    • 光场（Light Field）：固定 $z$，得到4D函数 $L(x, y, \theta, \phi)$
    • 环境贴图：固定位置，得到2D函数 $L(\theta, \phi)$
    • 全光函数（Plenoptic Function）：$L(x, y, z, \theta, \phi, \lambda, t)$ 包含波长和时间
    • 光场相机：通过微透镜阵列捕捉 4D 光场信息

  2. 传播不变性（Radiance Invariance） 在真空或均匀介质中传播时，辐射度沿光线保持不变： \(L(\mathbf{p}, \omega) = L(\mathbf{p} + t\omega, \omega), \quad \forall t > 0\)

    证明思路：考虑两个微分面元之间的能量传输

    • 从面元1发出：$d\Phi_1 = L_1 \, dA_1 \cos\theta_1 \, d\omega_1$
    • 到达面元2：$d\Phi_2 = L_2 \, dA_2 \cos\theta_2 \, d\omega_2$
    • 由于 $d\omega_1 = \frac{dA_2 \cos\theta_2}{r^2}$ 和 $d\omega_2 = \frac{dA_1 \cos\theta_1}{r^2}$
    • 能量守恒要求：$d\Phi_1 = d\Phi_2$，因此 $L_1 = L_2$

    几何光学含义：

    • 光线是辐射度的特征线
    • 这个性质是射线跟踪算法的理论基础
    • 在介质界面处会发生变化（折射定律）
  3. 线性叠加性
    • 多个光源的贡献可以线性叠加：$L_{total} = \sum_i L_i$
    • 这是因为光子之间不相互作用（在线性光学范围内）
    • 使得我们可以独立计算每个光源的贡献
    • 非线性效应：高强度激光、双光子吸收等特殊情况
    • 波动光学效应：干涉、衍射需要考虑相位
  4. 与相机响应的关系
    • 相机传感器的响应正比于入射辐射度
    • 像素值 $\propto \int_{\text{pixel}} \int_{\text{aperture}} L \cos\theta \, dA \, d\omega \, dt$
    • 这解释了为什么辐射度是渲染的核心量
    • 曝光时间积分：$E_{sensor} = \int_0^T L(t) \, dt$
    • 景深效应：孔径积分产生模糊
    • HDR成像：扩展辐射度动态范围
  5. 能量维度分析
    • 检查单位的一致性：$[L] = \frac{[\Phi]}{[A][\omega]} = \frac{W}{m^2 \cdot sr}$
    • 积分恢复功率：$\Phi = \int_A \int_{\Omega} L \cos\theta \, dA \, d\omega$
    • 单位立体角的物理含义：1 sr ≈ 65.5°的圆锥角
    • 全球立体角：$4\pi$ sr，半球 $2\pi$ sr
    • 小立体角近似：$\omega \approx \frac{A}{r^2}$ 当 $A \ll r^2$

  6. 参与介质中的衰减 在参与介质（如雾、烟）中，辐射度会衰减： \(\frac{dL}{ds} = -\sigma_t L + \sigma_s L_{scattered} + L_{emitted}\) 其中 $\sigma_t$ 是消光系数，$\sigma_s$ 是散射系数

    传输方程的解： \(L(s) = L(0) e^{-\tau(s)} + \int_0^s \sigma_s L_{in}(s') e^{-\tau(s,s')} ds'\) 其中光学厚度 $\tau(s) = \int_0^s \sigma_t(s’) ds’$

    相函数：$p(\omega_i \to \omega_o)$ 描述散射方向分布

    • Rayleigh散射：小粒子，蓝天效应
    • Mie散射：大粒子，云雾效应

8.1.3 立体角与投影立体角

立体角是三维空间中角度的推广，理解它对于正确处理方向积分至关重要。

立体角的几何意义

立体角的拓扑结构

立体角的微分形式 在球坐标系 $(\theta, \phi)$ 中： \(d\omega = \sin\theta \, d\theta \, d\phi\)

推导：球面上的微分面元

度量张量视角 球面上的度量张量： \(g = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2\theta \end{pmatrix}\)

面积元素：$dA = \sqrt{\det(g)} \, d\theta \, d\phi = \sin\theta \, d\theta \, d\phi$

笛卡尔坐标表示： 对于方向向量 $\omega = (\omega_x, \omega_y, \omega_z)$：

坐标转换的数值稳定性：

半球积分 \(\int_{\Omega} d\omega = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin\theta \, d\theta = 2\pi[-\cos\theta]_0^{\pi/2} = 2\pi\)

常见积分公式：

特殊函数与立体角：

投影立体角（Projected Solid Angle） \(d\omega^\perp = \cos\theta \, d\omega = \cos\theta \sin\theta \, d\theta \, d\phi\)

物理意义：

投影立体角的不变量：

微分几何视角：

应用场景：

关键积分结果

  1. 半球上的投影立体角积分： \(\int_{\Omega} \cos\theta \, d\omega = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, d\theta \, d\phi = \pi\)

    推导过程： \(\int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}\sin(2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2}\)

    几何意义：半球在其底面的投影面积为 $\pi r^2$，除以 $r^2$ 得 $\pi$

    变分原理：最大化 $\int f(\theta) \cos\theta \, d\omega$ 的分布是 $\delta(\theta)$（法线方向）

  2. 余弦的$n$次方积分（用于BRDF分析）： \(\int_{\Omega} \cos^n\theta \, d\omega = \frac{2\pi}{n+1}\)

    推导：使用Beta函数 \(\int_0^{\pi/2} \cos^n\theta \sin\theta \, d\theta = \int_0^1 u^n \, du = \frac{1}{n+1}\)

    特例：

    • $n=0$: $2\pi$ （半球立体角）
    • $n=1$: $\pi$ （投影立体角）
    • $n=2$: $\frac{2\pi}{3}$ （Phong模型常用）
    • $n \to \infty$: $0$ （完美镜面）

    一般化： \(\int_{\Omega} \cos^m\theta \sin^n\theta \, d\omega = \frac{\pi B(\frac{m+1}{2}, \frac{n+1}{2})}{B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})}\) 其中 $B$ 是Beta函数

  3. 立体角与面积的转换： \(d\omega = \frac{\cos\theta' \, dA'}{||\mathbf{p} - \mathbf{p}'||^2}\) 其中 $\theta’$ 是 $\mathbf{p}’$ 处表面法线与连线的夹角

    双向形式： \(dA \, d\omega = \frac{\cos\theta \cos\theta' \, dA \, dA'}{||\mathbf{p} - \mathbf{p}'||^2}\)

    几何因子的完整形式： \(G(\mathbf{p} \leftrightarrow \mathbf{p}') = \frac{\cos\theta \cos\theta'}{||\mathbf{p} - \mathbf{p}'||^2} V(\mathbf{p} \leftrightarrow \mathbf{p}')\)

    退化情况处理：

    • $\theta’ > \pi/2$：背向，$G = 0$
    • $   \mathbf{p} - \mathbf{p}’   \to 0$：需要正则化
    • 共面情况：$\cos\theta = 0$ 或 $\cos\theta’ = 0$

实际应用

高级采样技术：

8.1.4 BRDF与反射方程

双向反射分布函数（Bidirectional Reflectance Distribution Function, BRDF）是描述表面反射特性的核心概念。

BRDF的定义 \(f_r(\omega_i \to \omega_o) = \frac{dL_o(\omega_o)}{dE(\omega_i)} = \frac{dL_o(\omega_o)}{L_i(\omega_i) \cos\theta_i \, d\omega_i}\)

物理解释：

微观解释：

散射理论视角：

一般化到BSDF：

BRDF的基本性质

  1. 非负性：$f_r(\omega_i \to \omega_o) \geq 0$
    • 物理意义：能量不能为负
    • 数学结果：正定算子
  2. Helmholtz互易性（Reciprocity）： \(f_r(\omega_i \to \omega_o) = f_r(\omega_o \to \omega_i)\)
    • 物理基础：时间反演对称性
    • 实际意义：光路可逆
    • 应用：双向路径追踪中路径权重计算
    • 注意：磁光效应下不成立（非互易材料）
    • 实验验证：使用测角光度计交换入射和观察方向
  3. 能量守恒（Energy Conservation）： \(\rho(\omega_i) = \int_{\Omega^+} f_r(\omega_i \to \omega_o) \cos\theta_o \, d\omega_o \leq 1\)
    • 反射的能量不能超过入射能量
    • 等号成立：完美反射（如理想镜面）
    • 小于1：部分能量被吸收
    • 方向半球反射率：$\rho(\omega_i)$ 依赖于入射方向
    • 半球-半球反射率：$\bar{\rho} = \frac{1}{\pi}\int_{\Omega^+} \rho(\omega_i) \cos\theta_i \, d\omega_i$

    白炉测试： 在均匀入射照明下，出射辐射度应等于入射辐射度： \(L_o = \int_{\Omega^+} f_r \cdot L_i \cos\theta_i \, d\omega_i = L_i \int_{\Omega^+} f_r \cos\theta_i \, d\omega_i \leq L_i\)

    广义互易性： \(\rho(\omega_o) = \int_{\Omega^+} f_r(\omega_i \to \omega_o) \cos\theta_i \, d\omega_i\) 由于Helmholtz互易性，$\rho(\omega_o) = \rho(\omega_i)$ 当交换角色

  4. 线性性：
    • BRDF对入射光强度是线性的
    • 允许叠加原理的应用
    • 多光源：$L_o = \sum_k \int f_r L_{i,k} \cos\theta_i \, d\omega_i$
    • 傅立叶分解：可以在频域分析BRDF
  5. 各向同性 vs 各向异性：
    • 各向同性：BRDF不依赖于旋转角 $\phi$
      • 简化：$f_r(\theta_i, \theta_o, \phi_i - \phi_o )$
      • 参数化：3D函数而非4D
    • 各向异性：如拉丝金属、织物、木材纹理
      • Ward模型：椭圆高斯分布
      • 切线空间参数化：使用局部坐标系
  6. 正定性：
    • 作为算子，BRDF必须是正定的
    • 保证积分方程的解存在且唯一

常见BRDF模型

  1. Lambertian（漫反射）： \(f_r = \frac{\rho}{\pi}\)
    • $\rho$：反射率（albedo），$0 \leq \rho \leq 1$
    • 各向同性，与方向无关
    • 能量守恒验证：$\int_{\Omega} \frac{\rho}{\pi} \cos\theta \, d\omega = \rho$
    • 典型材质：石膏、粗糙纸张、未抛光的石头
    • 为什么除以$\pi$：保证 $\int \cos\theta \, d\omega = \pi$ 后总反射率为 $\rho$
    • 物理基础：完全粗糙表面，微表面法线均匀分布
    • 局限性：真实世界中没有完美的Lambertian表面
  2. 理想镜面反射： \(f_r(\omega_i \to \omega_o) = \frac{\delta(\omega_i - R(\omega_o))}{\cos\theta_i}\)
    • $R(\omega_o)$：反射方向 $R(\omega_o) = 2(\mathbf{n} \cdot \omega_o)\mathbf{n} - \omega_o$
    • 使用Dirac delta函数表示
    • 积分后：$L_o(\omega_o) = L_i(R(\omega_o))$
    • 实际实现：显式跟踪镜面反射，而非采样
    • Fresnel项：$F(\omega_i, \mathbf{n})$ 描述反射比例
    • 完整形式：$f_r = \frac{F(\omega_i, \mathbf{n})\delta(\omega_i - R(\omega_o))}{\cos\theta_i}$
  3. Phong模型（经验模型）： \(f_r = \frac{k_d}{\pi} + k_s \frac{n+2}{2\pi} \cos^n\alpha\)
    • $\alpha$：反射方向与视线方向的夹角
    • $n$：光泽度指数（典型值：5-1000）
    • 注意：不满足能量守恒
    • 修正的Phong：使用半向量 $\mathbf{h}$ 代替反射向量
    • 归一化因子 $\frac{n+2}{2\pi}$ 保证积分为1

    Blinn-Phong模型： \(f_r = \frac{k_d}{\pi} + k_s \frac{n+8}{8\pi} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^n\)

    • 半向量：$\mathbf{h} = \frac{\omega_i + \omega_o}{   \omega_i + \omega_o   }$
    • 更物理正确，计算更高效
    • 与微表面模型的联系：$D(\mathbf{h}) \propto (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^n$
  4. 微表面模型（Microfacet）： \(f_r = \frac{D(\mathbf{h}) G(\omega_i, \omega_o) F(\omega_i, \mathbf{h})}{4 \cos\theta_i \cos\theta_o}\)
    • $D$：法线分布函数（如GGX）
    • $G$：几何遮蔽函数
    • $F$：Fresnel项
    • $\mathbf{h}$：半向量 $\mathbf{h} = \frac{\omega_i + \omega_o}{   \omega_i + \omega_o   }$

    法线分布函数$D$：

    • GGX/Trowbridge-Reitz: $D(\mathbf{h}) = \frac{\alpha^2}{\pi((\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^2(\alpha^2 - 1) + 1)^2}$
      • 长尾分布，更真实的高光
      • 参数转换：$\alpha = \text{roughness}^2$
    • Beckmann: $D(\mathbf{h}) = \frac{1}{\pi\alpha^2\cos^4\theta_h} e^{-\frac{\tan^2\theta_h}{\alpha^2}}$
      • 基于高斯统计
      • 计算更复杂，但物理基础清晰
    • $\alpha$：粗糙度参数

    几何遮蔽函数$G$：

    • Smith G函数：$G(\omega_i, \omega_o) = G_1(\omega_i) G_1(\omega_o)$
    • $G_1$的GGX形式：$G_1(\omega) = \frac{2(\mathbf{n} \cdot \omega)}{(\mathbf{n} \cdot \omega) + \sqrt{\alpha^2 + (1-\alpha^2)(\mathbf{n} \cdot \omega)^2}}$
    • 高度相关形式：考虑遮蔽-阴影相关性

    Fresnel项$F$：

    • Schlick近似：$F(\omega, \mathbf{h}) = F_0 + (1-F_0)(1-\omega \cdot \mathbf{h})^5$
    • $F_0$：垂直入射时的反射率
    • 完整Fresnel方程：需要复折射率

    为什么除以4：

    • 来自雅可比行列式的转换
    • $\frac{\partial \omega_h}{\partial \omega_o} = \frac{1}{4(\omega_i \cdot \mathbf{h})}$
    • 保证从半向量分布到BRDF的正确映射

反射方程（Reflection Equation） \(L_o(\mathbf{p}, \omega_o) = L_e(\mathbf{p}, \omega_o) + \int_{\Omega^+} f_r(\mathbf{p}, \omega_i \to \omega_o) L_i(\mathbf{p}, \omega_i) \cos\theta_i \, d\omega_i\)

各项含义：

分层材质模型：

BRDF的测量与存储

BRDF的未来研究方向：

8.2 渲染方程

8.2.1 渲染方程的推导

Kajiya在1986年提出的渲染方程统一了计算机图形学中的光照计算，是全局光照的数学基础。这个方程的美在于它用简洁的数学形式捕捉了光传输的复杂性。

从局部到全局的演进

  1. 局部光照模型（只考虑直接光照）： \(L_o = L_e + \sum_{\text{lights}} f_r \cdot L_{light} \cdot \cos\theta_i\)

    历史背景：

    • 1967年 Phong模型
    • 1975年 Blinn-Phong改进
    • 足以处理实时渲染，但缺乏真实感
  2. 问题：忽略了间接光照
    • 没有软阴影
    • 没有颜色渗透（color bleeding）
    • 没有镜面间接反射
    • 没有焦散（caustics）
    • 没有环境光遮蔽（ambient occlusion）

  3. 关键洞察：入射辐射度来自其他表面的出射辐射度 \(L_i(\mathbf{p}, \omega_i) = L_o(\mathbf{p}', -\omega_i)\)

    其中：

    • $\mathbf{p}’$ 是射线 $(\mathbf{p}, \omega_i)$ 的第一个交点
    • 射线追踪函数：$\mathbf{p}’ = \text{raycast}(\mathbf{p}, \omega_i)$
    • 负号表示方向反转（从 $\mathbf{p}’$ 指向 $\mathbf{p}$）

    光线传播的拓扑性质：

    • 光线是相空间中的流线
    • 在非均匀介质中弯曲（海市蜃楼效应）
    • 在引力场中弯曲（广义相对论）

完整的渲染方程

将入射辐射度的表达式代入反射方程： \(L_o(\mathbf{p}, \omega_o) = L_e(\mathbf{p}, \omega_o) + \int_{\Omega^+} f_r(\mathbf{p}, \omega_i \to \omega_o) L_o(\mathbf{p}', -\omega_i) \cos\theta_i \, d\omega_i\)

这是一个递归积分方程：

数学性质：

物理意义：

边界条件

  1. 真空/环境：$L_o = L_{env}(\omega_o)$
    • 无限远处的环境光
    • HDR环境贴图
    • 天空模型（如Hosek-Wilkie）
  2. 光源表面：$L_e > 0$
    • 面光源：均匀或空间变化的发射
    • 温度辐射：Planck定律
    • IES光源数据
  3. 非发光表面：$L_e = 0$
    • 绝大多数物体属于此类
    • 但可能有荧光效应
  4. 参与介质边界：
    • 需要考虑体积散射
    • 辐射传输方程（RTE）

简化形式

定义反射算子 $\mathcal{T}$： \((\mathcal{T}L)(\mathbf{p}, \omega_o) = \int_{\Omega^+} f_r(\mathbf{p}, \omega_i \to \omega_o) L(\mathbf{p}', -\omega_i) \cos\theta_i \, d\omega_i\)

渲染方程变为： \(L = L_e + \mathcal{T}L\)

这是Fredholm第二类积分方程的一个实例。

历史上的其他形式：

8.2.2 积分算子形式

渲染方程可以使用算子理论进行分析，这提供了深入的数学洞察和求解方法。这种形式化不仅优雅，而且为数值方法提供了理论基础。

光传输算子的定义

定义算子 $\mathcal{K}$： \((\mathcal{K}L)(\mathbf{p}, \omega) = \int_{\Omega^+} f_r(\mathbf{p}, \omega_i \to \omega) L(\mathbf{p}', -\omega_i) \cos\theta_i \, d\omega_i\)

这是一个线性算子：

函数空间的选择：

算子方程

渲染方程可写为： \(L = L_e + \mathcal{K}L\)

或等价地： \((I - \mathcal{K})L = L_e\)

其中 $I$ 是恒等算子。

Neumann级数解

形式解为： \(L = (I - \mathcal{K})^{-1}L_e = \sum_{n=0}^{\infty} \mathcal{K}^n L_e\)

收敛条件：谱半径 $\rho(\mathcal{K}) < 1$

收敛速度分析：

谱分解：

物理解释

每一项的含义：

这也解释了为什么：

不同场景的反射次数：

能量分布统计：

算子的核函数表示

$\mathcal{K}$ 可以用核函数表示： \(K(\mathbf{p} \to \mathbf{p}', \omega \to \omega') = f_r(\mathbf{p}, \omega' \to \omega) \cos\theta' G(\mathbf{p} \leftrightarrow \mathbf{p}') \delta(\omega' - \omega_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}'})\)

其中：

核函数的性质：

离散化的核矩阵：

迭代求解方法

  1. 固定点迭代： \(L^{(k+1)} = L_e + \mathcal{K}L^{(k)}\)

  2. Jacobi迭代： \(L^{(k+1)} = L_e + \mathcal{K}L^{(k)}\)

  3. Gauss-Seidel迭代： 更新时立即使用新值

与有限元方法的联系

离散化后，渲染方程变为线性系统： \((I - K)L = L_e\)

其中 $K$ 是离散化的传输矩阵。

8.2.3 路径积分形式

路径积分提供了另一种理解渲染方程的视角，将光线传输看作路径的集合。

路径空间的定义

一条长度为 $k$ 的路径： \(\bar{x} = \mathbf{x}_0 \mathbf{x}_1 ... \mathbf{x}_k\)

其中：

路径空间： \(\Omega = \bigcup_{k=2}^{\infty} \mathcal{M}^{k+1}\)

路径贡献函数

一条路径的贡献： \(f(\bar{x}) = L_e(\mathbf{x}_k \to \mathbf{x}_{k-1}) \prod_{i=1}^{k-1} f_r(\mathbf{x}_{i+1} \to \mathbf{x}_i \to \mathbf{x}_{i-1}) G(\mathbf{x}_i \leftrightarrow \mathbf{x}_{i+1})\)

分解：

  1. 发射项：$L_e(\mathbf{x}k \to \mathbf{x}{k-1})$
  2. BRDF链：$\prod f_r$，每个反射点的BRDF
  3. 几何链：$\prod G$，点之间的几何关系

几何因子的详细分析

\[G(\mathbf{x} \leftrightarrow \mathbf{y}) = \frac{\cos\theta_x \cos\theta_y}{||\mathbf{x} - \mathbf{y}||^2} V(\mathbf{x} \leftrightarrow \mathbf{y})\]

组成部分：

  1. 余弦项：$\cos\theta_x \cos\theta_y$
    • $\theta_x$：$\mathbf{x}$ 处法线与连线的夹角
    • 体现Lambert定律
  2. 距离衰减：$1/r^2$
    • 球面波的几何扩散
    • 能量守恒的体现
  3. 可见性：$V(\mathbf{x} \leftrightarrow \mathbf{y}) \in {0, 1}$
    • 1：两点互相可见
    • 0：存在遮挡

渲染方程的路径积分形式

\[L(\mathbf{x}_0 \to \mathbf{x}_1) = \sum_{k=2}^{\infty} \int_{\mathcal{M}^{k-1}} f(\mathbf{x}_0 \mathbf{x}_1 ... \mathbf{x}_k) \, dA(\mathbf{x}_2) ... dA(\mathbf{x}_k)\]

这是对所有可能路径的积分：

路径分类（Heckbert记法）

用正则表达式描述路径类型：

例子：

测度论视角

路径空间上的测度： \(d\mu(\bar{x}) = dA(\mathbf{x}_0) ... dA(\mathbf{x}_k)\)

渲染的目标是计算： \(I = \int_{\Omega} f(\bar{x}) \, d\mu(\bar{x})\)

这为蒙特卡洛方法提供了理论基础。

8.2.4 测度变换

在渲染中，经常需要在不同的积分域之间转换。理解测度变换对于正确实现重要性采样至关重要。

立体角到面积的变换

基本关系： \(d\omega = \frac{\cos\theta' \, dA'}{||\mathbf{p} - \mathbf{p}'||^2}\)

推导：

  1. 从 $\mathbf{p}$ 看 $dA’$ 张成的立体角
  2. 投影面积：$dA’ \cos\theta’$（$\theta’$ 是 $\mathbf{p}’$ 处的角度）
  3. 立体角 = 投影面积 / 距离平方

面积形式的渲染方程

将测度变换应用于渲染方程： \(L_o(\mathbf{p}, \omega_o) = L_e(\mathbf{p}, \omega_o) + \int_{\mathcal{M}} f_r(\mathbf{p}, \mathbf{p}' \to \omega_o) L_o(\mathbf{p}', \mathbf{p} - \mathbf{p}') G(\mathbf{p} \leftrightarrow \mathbf{p}') \, dA'\)

这里几何因子 $G$ 包含了测度变换的所有项。

其他常见的测度变换

  1. 球面坐标到笛卡尔坐标： \(d\omega = \sin\theta \, d\theta \, d\phi\) 对应的向量： \(\omega = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)\)

  2. 半球均匀采样到余弦加权采样：
    • 均匀采样：$p(\omega) = 1/(2\pi)$
    • 余弦加权：$p(\omega) = \cos\theta/\pi$
    • Jacobian：$\frac{\cos\theta/\pi}{1/(2\pi)} = 2\cos\theta$
  3. 光源采样的测度变换：
    • 在光源表面采样：$p_A(\mathbf{x}) = 1/A_{light}$
    • 转换到立体角：$p_\omega(\omega) = \frac{r^2}{A_{light}\cos\theta_{light}}$

变换的雅可比行列式

一般的变量替换公式： \(p_Y(y) = p_X(x) \left|\frac{\partial x}{\partial y}\right|\)

多维情况： \(p_Y(\mathbf{y}) = p_X(\mathbf{x}) \left|\det\left(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{y}}\right)\right|\)

实际应用中的陷阱

  1. 忘记余弦项：
    • 错误：$p_\omega = \frac{r^2}{A}$
    • 正确：$p_\omega = \frac{r^2}{A\cos\theta}$
  2. 双重计算几何项：
    • 错误：在BRDF和测度变换中都包含 $\cos\theta$
    • 正确：明确区分哪些项属于BRDF，哪些属于测度变换
  3. 正负号错误：
    • 注意法线方向和光线方向的关系
    • 使用 $ \cos\theta $ 或确保角度在 $[0, \pi/2]$

8.3 蒙特卡洛积分与路径追踪

渲染方程是一个高维积分方程，解析求解几乎不可能。蒙特卡洛方法提供了数值求解的框架。

8.3.1 蒙特卡洛积分基础

对于积分 $I = \int_{\Omega} f(x) \, dx$，蒙特卡洛估计量为：

\[\langle I \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f(X_i)}{p(X_i)}\]

其中 $X_i \sim p(x)$ 是从概率密度函数 $p(x)$ 采样的随机变量。

期望与方差：

收敛速度：误差以 $O(1/\sqrt{N})$ 的速度收敛，与维度无关。

8.3.2 重要性采样

选择合适的概率密度函数 $p(x)$ 可以显著降低方差。理想情况下： \(p(x) \propto |f(x)|\)

对于渲染，常用的采样策略包括：

  1. 余弦加权采样：$p(\omega) \propto \cos\theta$
  2. BRDF采样：$p(\omega) \propto f_r(\omega_i \to \omega_o)$
  3. 光源采样：直接在光源上采样
  4. 多重重要性采样（MIS）：组合多种采样策略

8.3.3 路径追踪算法

基本路径追踪通过递归求解渲染方程：

radiance(ray):
    hit = intersect(ray, scene)
    if not hit:
        return background
    
    L_e = hit.emission
    
    // 直接光照
    L_d = sample_direct_lighting(hit)
    
    // 间接光照（俄罗斯轮盘赌）
    if random() < P_rr:
        wi, pdf = sample_brdf(hit)
        L_i = radiance(spawn_ray(hit, wi))
        L_indirect = f_r * L_i * cos(theta) / (pdf * P_rr)
    else:
        L_indirect = 0
    
    return L_e + L_d + L_indirect

8.3.4 俄罗斯轮盘赌

为了得到无偏估计同时避免无限递归，使用俄罗斯轮盘赌：

\[L = \begin{cases} \frac{L_{continue}}{P_{rr}} & \text{以概率 } P_{rr} \\ 0 & \text{以概率 } 1-P_{rr} \end{cases}\]

期望值保持不变：$E[L] = P_{rr} \cdot \frac{L_{continue}}{P_{rr}} = L_{continue}$

8.3.5 直接光照采样

对于面光源，可以直接在光源表面采样：

\[L_d = \int_{A_{light}} f_r(\omega_i \to \omega_o) L_e \cos\theta_i \frac{\cos\theta_{light}}{||\mathbf{x} - \mathbf{x}_{light}||^2} V(\mathbf{x} \leftrightarrow \mathbf{x}_{light}) \, dA_{light}\]

采样策略：

  1. 在光源表面均匀采样：$p(x_{light}) = 1/A_{light}$
  2. 转换为立体角域的pdf：$p(\omega) = \frac{   \mathbf{x} - \mathbf{x}_{light}   ^2}{A_{light} \cos\theta_{light}}$

8.3.6 多重重要性采样（MIS）

当有多种采样策略时，MIS提供了组合它们的最优方式。平衡启发式权重：

\[w_i(x) = \frac{p_i(x)}{\sum_j p_j(x)}\]

功率启发式（通常效果更好）： \(w_i(x) = \frac{p_i^2(x)}{\sum_j p_j^2(x)}\)

组合估计量： \(\langle I \rangle = \sum_i \frac{1}{n_i} \sum_{j=1}^{n_i} w_i(X_{ij}) \frac{f(X_{ij})}{p_i(X_{ij})}\)

8.3.7 路径空间的测度

在路径空间中，一条长度为 $k$ 的路径的概率密度为：

\[p(\bar{x}) = p(\mathbf{x}_0) \prod_{i=1}^{k} p(\mathbf{x}_i | \mathbf{x}_{i-1})\]

面积测度下的转换： \(p(\mathbf{x}_i | \mathbf{x}_{i-1}) = p(\omega_i) \frac{\cos\theta_i}{||\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_{i-1}||^2}\)

8.3.8 双向路径追踪

双向路径追踪（BDPT）从相机和光源同时追踪路径，然后连接它们：

  1. 从相机追踪子路径：$\mathbf{x}_0, \mathbf{x}_1, …, \mathbf{x}_s$
  2. 从光源追踪子路径：$\mathbf{y}_0, \mathbf{y}_1, …, \mathbf{y}_t$
  3. 连接策略：连接 $\mathbf{x}_s$ 和 $\mathbf{y}_t$ 形成完整路径

对于每种连接策略 $(s,t)$，使用MIS组合所有可能的路径。

8.3.9 渐进式光子映射

光子映射是另一种全局光照算法，特别适合处理焦散等效果：

  1. 光子发射阶段：从光源发射光子，在场景中追踪并存储
  2. 密度估计：使用k近邻搜索估计辐射度 \(L(\mathbf{x}, \omega) \approx \frac{1}{\pi r^2} \sum_{p \in N_k(\mathbf{x})} f_r(\omega_p \to \omega) \Phi_p\)

渐进式改进：

本章小结

核心概念：

  1. 辐射度量学提供了描述光传输的物理框架
  2. 渲染方程是全局光照的数学基础： \(L_o = L_e + \int_{\Omega} f_r L_i \cos\theta_i \, d\omega_i\)
  3. 蒙特卡洛方法提供了数值求解高维积分的框架
  4. 路径追踪通过递归采样求解渲染方程

关键公式：

算法要点：

练习题

基础题

练习8.1：证明辐射度在真空中沿光线传播时保持不变。

提示 考虑两个微分面元之间的能量传输，使用立体角和面积的关系。
答案 设两点 $\mathbf{p}_1$ 和 $\mathbf{p}_2$ 之间的辐射传输，从 $\mathbf{p}_1$ 发出的功率： $$d\Phi = L_1 dA_1 \cos\theta_1 d\omega_1$$ 其中 $d\omega_1 = \frac{dA_2 \cos\theta_2}{r^2}$ 在 $\mathbf{p}_2$ 接收的功率： $$d\Phi = L_2 dA_2 \cos\theta_2 d\omega_2$$ 其中 $d\omega_2 = \frac{dA_1 \cos\theta_1}{r^2}$ 由能量守恒：$L_1 = L_2$

练习8.2：推导Lambertian BRDF $f_r = \rho/\pi$ 满足能量守恒的条件。

提示 计算半球积分 $\int_{\Omega} f_r \cos\theta \, d\omega$。
答案 $$\int_{\Omega} \frac{\rho}{\pi} \cos\theta \, d\omega = \frac{\rho}{\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, d\theta \, d\phi = \frac{\rho}{\pi} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \rho$$ 因此能量守恒要求 $\rho \leq 1$。

练习8.3：计算均匀采样半球方向时，估计器 $\frac{\cos\theta}{p(\omega)}$ 的方差。

提示 均匀采样时 $p(\omega) = 1/(2\pi)$，计算 $E[(\cos\theta)^2]$。
答案 $$V = E\left[\left(\frac{\cos\theta}{1/(2\pi)}\right)^2\right] - \left(E\left[\frac{\cos\theta}{1/(2\pi)}\right]\right)^2$$ $$= (2\pi)^2 \int_{\Omega} \cos^2\theta \frac{1}{2\pi} d\omega - \pi^2$$ $$= 2\pi \cdot \frac{\pi}{2} - \pi^2 = 0$$

挑战题

练习8.4：设计一个采样策略，同时考虑BRDF和入射光照分布，并推导相应的pdf。

提示 考虑乘积 $f_r(\omega) L_i(\omega) \cos\theta$ 的重要性采样。
答案 理想的pdf应该正比于被积函数： $$p(\omega) \propto f_r(\omega_i \to \omega_o) L_i(\omega_i) \cos\theta_i$$ 实践中可以使用多重重要性采样组合BRDF采样和光源采样： - BRDF采样：$p_1(\omega) \propto f_r(\omega)$ - 光源采样：$p_2(\omega) \propto L_i(\omega) \cos\theta$ 使用MIS权重组合两种策略。

练习8.5：分析路径追踪中不同长度路径的相对贡献，假设场景中材质的平均反射率为 $\bar{\rho}$。

提示 考虑几何级数和路径的概率。
答案 长度为 $n$ 的路径的平均贡献大约为 $\bar{\rho}^n$。总贡献为几何级数： $$\sum_{n=0}^{\infty} \bar{\rho}^n = \frac{1}{1-\bar{\rho}}$$ 例如，$\bar{\rho} = 0.5$ 时，直接光照贡献50%，一次反射贡献25%，以此类推。这解释了为什么大多数场景中3-5次反射就足够了。

练习8.6：推导双向路径追踪中，长度为 $k$ 的路径有多少种不同的采样策略，并分析每种策略的效率。

提示 考虑从相机追踪 $s$ 步，从光源追踪 $t$ 步，其中 $s + t = k$。
答案 对于长度为 $k$ 的路径（$k+1$ 个顶点），有 $k+1$ 种采样策略： - $(s,t) = (0,k)$：纯光源追踪（光子映射） - $(s,t) = (1,k-1)$：直接光照 - ... - $(s,t) = (k,0)$：纯相机追踪（路径追踪） 不同策略的效率取决于场景特征： - 焦散：光源追踪更有效 - 间接漫反射：双向连接更有效 - 镜面反射：相机追踪更有效

常见陷阱与错误

  1. 辐射度单位混淆
    • 错误：将辐照度（W/m²）与辐射度（W/(m²·sr)）混淆
    • 正确：明确区分不同辐射度量及其物理意义
  2. BRDF归一化
    • 错误：假设 $\int f_r d\omega = 1$
    • 正确：能量守恒要求 $\int f_r \cos\theta_o d\omega_o \leq 1$
  3. 概率密度转换
    • 错误：直接使用立体角域的pdf进行面积采样
    • 正确：$p_A = p_\omega \frac{r^2}{\cos\theta}$
  4. 俄罗斯轮盘赌偏差
    • 错误：不除以继续概率 $P_{rr}$
    • 正确：必须除以 $P_{rr}$ 保证无偏
  5. MIS权重计算
    • 错误：只考虑当前采样策略的pdf
    • 正确：需要评估所有可能策略的pdf
  6. 数值精度问题
    • 错误：在接近零的pdf处评估
    • 正确：添加小的epsilon避免除零

最佳实践检查清单

算法实现

采样策略

优化技巧

验证与调试