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第4章：着色基础

在前面的章节中，我们学习了如何将三维几何对象投影到二维屏幕并进行光栅化。然而，仅有几何形状是不够的——我们需要为这些形状赋予真实的外观。本章将介绍着色的基础知识，包括光照模型、着色频率以及纹理映射的基本概念。这些内容构成了计算机图形学中创建逼真图像的核心基础。

4.1 光照与基本着色模型

4.1.1 光的物理基础

光是电磁波，在图形学中我们主要关注可见光谱（波长约380-780纳米）。光与物体表面的相互作用决定了我们所看到的颜色和明暗。

光的基本属性：

辐射度量学基础： 理解光照计算需要掌握几个关键的辐射度量学概念：

  1. 辐射通量（Radiant Flux）：$\Phi$，单位时间内通过表面的总能量，单位：瓦特(W) \(\Phi = \frac{dQ}{dt}\)

  2. 辐照度（Irradiance）：$E$，单位面积接收的辐射通量，单位：$W/m^2$ \(E = \frac{d\Phi}{dA}\)

  3. 辐射强度（Radiant Intensity）：$I$，点光源在特定方向上的功率，单位：$W/sr$ \(I = \frac{d\Phi}{d\omega}\)

  4. 辐亮度（Radiance）：$L$，最重要的量，描述光线的”亮度”，单位：$W/(m^2 \cdot sr)$ \(L = \frac{d^2\Phi}{dA \cos\theta \, d\omega}\)

光与表面的相互作用： 当光线到达物体表面时，会发生以下现象：

  1. 反射（Reflection）：光线从表面弹回，分为镜面反射和漫反射
    • 镜面反射：遵循反射定律，入射角等于反射角
    • 漫反射：光线向各个方向均匀散射
    • 光泽反射：介于两者之间，有方向性但不完全镜面

  2. 折射（Refraction）：光线穿透表面进入物体内部，遵循斯涅尔定律 \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) 其中$n_1, n_2$为介质的折射率

  3. 吸收（Absorption）：部分光能被材质吸收转化为热能
    • 遵循比尔-朗伯定律：$I(x) = I_0 e^{-\sigma_a x}$
    • $\sigma_a$为吸收系数，$x$为传播距离
  4. 散射（Scattering）：光线在介质内部发生多次反射和折射
    • 瑞利散射：粒子尺寸远小于波长（天空为蓝色的原因）
    • 米氏散射：粒子尺寸与波长相当（云和雾的外观）

菲涅尔效应（Fresnel Effect）： 反射率随入射角变化的现象，由菲涅尔方程描述：

对于非偏振光的反射率： \(F(\theta) = \frac{1}{2}(F_\parallel^2 + F_\perp^2)\)

其中： \(F_\parallel = \frac{n_2 \cos\theta_i - n_1 \cos\theta_t}{n_2 \cos\theta_i + n_1 \cos\theta_t}\) \(F_\perp = \frac{n_1 \cos\theta_i - n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t}\)

Schlick近似（常用于实时渲染）： \(F(\theta) = F_0 + (1 - F_0)(1 - \cos\theta)^5\) 其中$F_0$是垂直入射时的反射率。

在基本着色模型中，我们主要关注反射现象，将其简化为漫反射和镜面反射两个分量。

4.1.2 Lambertian反射模型

最简单的反射模型是Lambertian（朗伯）反射，描述了完全漫反射表面的行为。这种表面将入射光均匀地散射到各个方向，看起来同样明亮，与观察角度无关。

朗伯余弦定律： \(I = I_0 \cos\theta = I_0 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})\)

其中：

物理解释： 余弦项$\cos\theta$反映了有效照射面积的变化。当光线垂直入射时（$\theta = 0$），单位面积接收最多能量；当光线平行于表面时（$\theta = 90°$），没有能量到达表面。

从微观角度理解：

BRDF形式： Lambertian反射的双向反射分布函数（BRDF）为常数： \(f_r = \frac{\rho}{\pi}\)

其中$\rho$是反照率（albedo），表示表面反射的能量比例。除以$\pi$是为了满足能量守恒： \(\int_{\Omega} f_r \cos\theta \, d\omega = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{\rho}{\pi} \cos\theta \sin\theta \, d\theta \, d\phi = \rho\)

漫反射的渲染方程： 对于单个光源，出射辐亮度为： \(L_o(\mathbf{x}, \omega_o) = f_r L_i(\mathbf{x}, \omega_i) (\mathbf{n} \cdot \omega_i)\)

展开后： \(L_o = \frac{\rho}{\pi} L_i \max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{l})\)

实际应用考虑：

高级扩展：

  1. Oren-Nayar模型：考虑表面粗糙度的改进模型 \(f_r = \frac{\rho}{\pi}(A + B \max(0, \cos(\phi_i - \phi_o)) \sin\alpha \tan\beta)\) 其中$A = 1 - 0.5\frac{\sigma^2}{\sigma^2 + 0.33}$，$B = 0.45\frac{\sigma^2}{\sigma^2 + 0.09}$，$\sigma$是表面粗糙度

  2. 次表面散射（Subsurface Scattering）：
    • 光线进入材质内部散射后射出
    • 常见于皮肤、蜡、大理石等半透明材质
    • 需要考虑光线入射点和出射点的距离
  3. 预积分皮肤着色：使用查找表（LUT）存储不同角度的散射结果

4.1.3 Phong光照模型

Phong光照模型是计算机图形学中最经典的局部光照模型，由Bui Tuong Phong于1975年提出。它通过三个分量的叠加来近似真实世界的光照效果：

\[I = I_a + I_d + I_s\]

1. 环境光（Ambient）： \(I_a = k_a I_{a,light}\)

环境光模拟间接光照，是对全局光照的粗糙近似。它确保场景中没有完全黑暗的区域，提供基础亮度。

物理意义：

2. 漫反射（Diffuse）： \(I_d = k_d I_{light} \max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{l})\)

基于Lambertian反射模型，表示粗糙表面的反射特性。这是物体的主要颜色来源。

3. 镜面反射（Specular）： \(I_s = k_s I_{light} \max(0, \mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^p\)

模拟光滑表面的高光效果。反射向量$\mathbf{r}$通过镜面反射定律计算： \(\mathbf{r} = 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})\mathbf{n} - \mathbf{l}\)

推导反射向量公式： 设入射向量为$-\mathbf{l}$，法线为$\mathbf{n}$：

  1. 将$-\mathbf{l}$分解为平行和垂直于$\mathbf{n}$的分量
  2. 平行分量：$(-\mathbf{l} \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$
  3. 垂直分量：$-\mathbf{l} - (-\mathbf{l} \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$
  4. 反射时，平行分量反向，垂直分量不变
  5. $\mathbf{r} = -(-\mathbf{l} \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} + [-\mathbf{l} - (-\mathbf{l} \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}]$
  6. 简化得：$\mathbf{r} = 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})\mathbf{n} - \mathbf{l}$

参数说明：

镜面反射的微面元理论解释：

RGB颜色扩展： 实际应用中，每个颜色通道独立计算： \(\mathbf{I}_{RGB} = k_a \mathbf{c}_a \odot \mathbf{I}_{a,light} + k_d \mathbf{c}_d \odot \mathbf{I}_{light} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}) + k_s \mathbf{c}_s \odot \mathbf{I}_{light} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^p\)

其中$\odot$表示逐元素乘法，$\mathbf{c}_a, \mathbf{c}_d, \mathbf{c}_s$分别是环境光、漫反射和镜面反射颜色。

Phong模型的局限性：

  1. 非物理准确：
    • 不遵循能量守恒
    • 镜面反射项不满足互易性（reciprocity）
    • 无法准确模拟粗糙表面的镜面反射
  2. 掠射角问题：
    • 在掠射角下，镜面反射强度下降过快
    • 真实材质在掠射角下反射率增加（菲涅尔效应）
  3. 材质表现力有限：
    • 无法表现菲涅尔效应
    • 对各向异性材质（如拉丝金属）无能为力
    • 不支持分层材质（如汽车漆）
  4. 高光形状单一：
    • 只能产生圆形高光
    • 无法表现拉长或其他形状的高光

4.1.4 Blinn-Phong模型

Blinn-Phong是Phong模型的改进版本，由Jim Blinn于1977年提出。核心改进是使用半角向量（halfway vector）代替反射向量：

\[\mathbf{h} = \frac{\mathbf{l} + \mathbf{v}}{||\mathbf{l} + \mathbf{v}||_2}\]

镜面反射项变为： \(I_s = k_s I_{light} \max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^p\)

物理解释： 半角向量$\mathbf{h}$代表了微表面法线的统计分布。当$\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}$较大时，意味着有更多的微表面朝向能够将光线反射到观察者。

微面元理论深入：

数学关系推导： 设$\theta$为$\mathbf{n}$与$\mathbf{h}$的夹角，$\alpha$为$\mathbf{r}$与$\mathbf{v}$的夹角： \(\cos\alpha = \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} = 2\cos^2\theta - 1\)

因此： \((\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^{p_{Phong}} = (2\cos^2\theta - 1)^{p_{Phong}} \approx (\cos\theta)^{4p_{Phong}} = (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^{4p_{Phong}}\)

这解释了为什么$p_{Blinn} \approx 4p_{Phong}$。

优点：

实现细节：

改进的归一化Blinn-Phong： 为了更好的能量守恒，可以使用归一化版本： \(I_s = \frac{p + 8}{8\pi} k_s I_{light} \max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^p\)

归一化因子确保镜面反射瓣的积分为$k_s$。

各向异性扩展： 对于各向异性材质，可以将标量指数$p$扩展为两个方向的指数： \(I_s = k_s I_{light} \max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^{p_u \cos^2\phi + p_v \sin^2\phi}\)

其中$\phi$是半角向量在切平面上的投影与主切线方向的夹角。

4.1.5 多光源处理

实际场景中通常有多个光源，总光照是所有光源贡献的叠加：

\[I_{total} = I_a + \sum_{i=1}^{n} (I_{d,i} + I_{s,i})\]

注意环境光通常只计算一次，而非每个光源都有独立的环境光分量。

光源类型：

1. 点光源（Point Light） 从一点向所有方向发出光线，强度随距离衰减： \(I(d) = \frac{I_0}{d^2}\)

物理正确的衰减：

实践中常用更灵活的衰减公式避免除零和过度衰减： \(f_{att} = \frac{1}{k_c + k_l d + k_q d^2}\) 其中$k_c$（常数项）、$k_l$（线性项）、$k_q$（二次项）是衰减系数。

改进的衰减模型： \(f_{att} = \frac{1}{\max(d, r_{min})^2}\) 其中$r_{min}$是光源的物理半径，避免近距离的无限亮度。

2. 方向光（Directional Light） 模拟无限远的光源（如太阳）：

级联阴影贴图（Cascaded Shadow Maps）：

3. 聚光灯（Spot Light） 具有位置、方向和照射角度的光源： \(I = I_0 \cdot f_{spot}(\theta) \cdot f_{att}(d)\)

聚光衰减函数： \(f_{spot}(\theta) = \begin{cases} (\cos\theta)^{f} & \text{if } \cos\theta > \cos\theta_{outer} \\ \text{smooth}(\theta) & \text{if } \cos\theta_{outer} \geq \cos\theta > \cos\theta_{inner} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)

平滑过渡函数： 使用Hermite插值实现软边缘： \(\text{smooth}(\theta) = \text{smoothstep}(\cos\theta_{outer}, \cos\theta_{inner}, \cos\theta)\) \(\text{smoothstep}(a, b, x) = t^2(3 - 2t), \quad t = \frac{x - a}{b - a}\)

投影纹理聚光灯：

4. 面光源（Area Light） 真实世界的光源都有一定面积，但精确计算需要积分。

解析解（仅限简单几何）： 矩形面光源对点的辐照度： \(E = \int_A \frac{L \cos\theta_i \cos\theta_o}{r^2} dA\)

对于均匀发光的矩形，存在闭式解（使用边界积分）。

近似方法：

  1. 多点近似：
    • 将面光源离散为$N$个点光源
    • 权重根据面积元分配
    • 计算复杂度：$O(N)$
  2. 线性变换球面光源（LTCs）：
    • 将复杂BRDF变换为余弦分布
    • 使用预计算的查找表
    • 实时性能优秀
  3. 球谐函数近似：
    • 将光源投影到SH基函数
    • 适合低频光照
    • 系数预计算

5. 环境光照（Environment Lighting） 使用环境贴图表示来自所有方向的光照：

重要性采样：

预滤波环境贴图：

性能优化策略：

  1. 光源剔除：
    • 视锥剔除：丢弃视野外光源
    • 距离剔除：忽略超过最大影响距离的光源
    • 遮挡剔除：使用层次Z缓冲（Hi-Z）
  2. 延迟着色（Deferred Shading）：
    • 几何复杂度与光源数量解耦
    • G-Buffer存储几何属性
    • 光照以屏幕空间处理
  3. 光源分级（Light Hierarchy）：
    • 主光源：完整计算
    • 次要光源：简化BRDF
    • 环境光源：预积分近似
  4. 光照烘焙（Light Baking）：
    • 静态光源预计算
    • 存储在光照贴图或探针
    • 运行时仅处理动态光源
  5. Tiled/Clustered Shading：
    • 将屏幕/视锥分块
    • 每块维护光源列表
    • 减少光源遍历开销

4.2 着色频率与图形管线

4.2.1 着色频率的概念

着色频率（Shading Frequency）决定了在渲染管线的哪个阶段计算光照。不同的着色频率在质量和性能之间做出不同的权衡。

1. 平面着色（Flat Shading）

2. Gouraud着色（顶点着色） Henri Gouraud于1971年提出：

3. Phong着色（像素着色/片段着色） Bui Tuong Phong同时提出：

选择标准：

4.2.2 法线插值

在Phong着色中，需要插值法线而非颜色。这是实现高质量光照的关键。

重心坐标插值： \(\mathbf{n} = \alpha \mathbf{n}_1 + \beta \mathbf{n}_2 + \gamma \mathbf{n}_3\)

为什么需要重新归一化： 线性插值不保持向量长度。考虑两个相互垂直的单位法线$\mathbf{n}_1 = (1,0,0)$和$\mathbf{n}_2 = (0,1,0)$，它们的中点插值： \(\mathbf{n}_{mid} = 0.5\mathbf{n}_1 + 0.5\mathbf{n}_2 = (0.5, 0.5, 0) \Rightarrow ||\mathbf{n}_{mid}|| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1\)

因此必须重新归一化： \(\mathbf{n}_{normalized} = \frac{\mathbf{n}}{||\mathbf{n}||_2}\)

法线插值的几何意义：

优化技巧：

  1. 快速归一化近似： \(\mathbf{n}_{approx} \approx \mathbf{n} \cdot (1.5 - 0.5 \cdot \mathbf{n} \cdot \mathbf{n})\) 基于牛顿-拉夫逊迭代，当$||\mathbf{n}||$接近1时非常准确

  2. 四元数插值： 对于大角度旋转，可以使用四元数表示法线方向，使用SLERP插值

4.2.3 透视校正插值

在透视投影下，屏幕空间的线性插值不等于3D空间的线性插值。这是因为透视投影是非线性变换。

问题的根源： 考虑一条空间3D线段，其端点在不同深度。透视投影后：

透视校正公式推导： 透视投影中，屏幕坐标与3D坐标的关系： \(x_s = \frac{x}{z}, \quad y_s = \frac{y}{z}\)

对于属性$A$，正确的插值是： \(\frac{1}{z} = \alpha \frac{1}{z_1} + \beta \frac{1}{z_2} + \gamma \frac{1}{z_3}\)

\[A = \frac{\alpha \frac{A_1}{z_1} + \beta \frac{A_2}{z_2} + \gamma \frac{A_3}{z_3}}{\alpha \frac{1}{z_1} + \beta \frac{1}{z_2} + \gamma \frac{1}{z_3}}\]

实现细节：

  1. 现代GPU自动处理透视校正
  2. 需要存储$1/z$值（通常在深度缓冲中）
  3. 所有顶点属性都需要透视校正：
    • 纹理坐标
    • 法线向量
    • 颜色值
    • 任何自定义属性

没有透视校正的后果：

4.2.4 现代图形管线中的着色

现代GPU使用可编程着色器，提供了灵活的渲染管线：

1. 顶点着色器（Vertex Shader）

2. 片段着色器（Fragment/Pixel Shader）

3. 延迟着色（Deferred Shading）

几何通道：

光照通道：

优缺点对比：

特性 前向着色 延迟着色
光照计算复杂度 O(lights × fragments) O(lights + fragments)
内存带宽 低 高（G-Buffer）
透明物体 支持 不支持
抗锯齿 MSAA可用 MSAA成本高
材质灵活性 高 受限于G-Buffer

4. Tile-Based Deferred Rendering (TBDR)

4.3 纹理映射基础

4.3.1 纹理映射的概念

纹理映射（Texture Mapping）是Edwin Catmull于1974年首次提出的技术，通过将2D图像映射到3D表面来增加视觉细节，而无需增加几何复杂度。

核心思想：

基本流程：

  1. 参数化：为3D模型的每个顶点指定纹理坐标$(u,v)$
  2. 插值：光栅化时插值纹理坐标（需要透视校正）
  3. 采样：使用插值后的坐标从纹理图像中采样
  4. 应用：将采样结果用于着色计算

纹理的数学定义： 纹理是一个函数$T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^n$，其中：

纹理映射的优势：

  1. 内存效率：2D图像比3D几何简单得多
  2. 编辑方便：可以使用成熟的图像编辑工具
  3. 重用性：同一纹理可应用于多个模型
  4. LOD支持：Mipmap等技术提供自动细节层次

4.3.2 纹理坐标系统

UV坐标：

纹理坐标的获取方式：

1. 手动指定

2. 参数化映射

平面映射： \(u = \frac{x - x_{min}}{x_{max} - x_{min}}, \quad v = \frac{y - y_{min}}{y_{max} - y_{min}}\)

球面映射： \(u = \frac{1}{2\pi}\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + 0.5\) \(v = \frac{1}{\pi}\arccos\left(\frac{z}{r}\right)\)

圆柱映射： \(u = \frac{1}{2\pi}\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + 0.5\) \(v = \frac{z - z_{min}}{z_{max} - z_{min}}\)

立方体映射： 根据法线方向选择六个面之一，然后进行平面映射

3. 自动UV展开

UV岛（UV Islands）：

4.3.3 纹理采样

纹理采样是根据纹理坐标从纹理图像中获取颜色值的过程。不同的采样方法在质量和性能之间做出不同权衡。

最近邻采样（Nearest Neighbor/Point Sampling）：

u_pixel = round(u * (width - 1))
v_pixel = round(v * (height - 1))
color = texture[u_pixel, v_pixel]

双线性插值（Bilinear Interpolation）：

计算步骤：

  1. 找到四个最近纹素： 
    u_coord = u * (width - 1)
v_coord = v * (height - 1)
u0 = floor(u_coord), u1 = u0 + 1
v0 = floor(v_coord), v1 = v0 + 1
  2. 计算分数部分： 
    s = u_coord - u0
t = v_coord - v0
  3. 双线性插值： \(c = (1-s)(1-t)c_{00} + s(1-t)c_{10} + (1-s)t c_{01} + st c_{11}\)

可以分解为两次线性插值：

双三次插值（Bicubic Interpolation）： 使用16个最近纹素（4×4网格），通过三次多项式插值： \(c(s,t) = \sum_{i=-1}^{2}\sum_{j=-1}^{2} c_{ij} \cdot h(s-i) \cdot h(t-j)\)

其中$h(x)$是Catmull-Rom核函数： \(h(x) = \begin{cases} 1.5|x|^3 - 2.5|x|^2 + 1 & |x| \leq 1 \\ -0.5|x|^3 + 2.5|x|^2 - 4|x| + 2 & 1 < |x| \leq 2 \\ 0 & |x| > 2 \end{cases}\)

4.3.4 纹理放大与缩小

纹理采样的核心挑战是处理纹理分辨率与屏幕分辨率不匹配的情况。

放大（Magnification）问题：

现象：

解决方案：

  1. 双线性插值：基本选择，平滑但模糊
  2. 双三次插值：更高质量，但计算昂贵
  3. 超分辨率技术：
    • ESRGAN等深度学习方法
    • 实时超分（DLSS、FSR）

缩小（Minification）问题：

现象：

走样的根源： 根据奈奎斯特采样定理，采样频率必须至少是信号最高频率的两倍： \(f_s > 2 f_{max}\)

当纹理被缩小时，高频细节超过了屏幕采样率的奈奎斯特限制。

解决方案：

  1. 超采样：增加采样率，但成本高
  2. 预滤波：在采样前去除高频分量
  3. Mipmap：预计算的多分辨率纹理金字塔

纹理过滤模式设置：

GL_TEXTURE_MIN_FILTER: // 缩小时
  - GL_NEAREST
  - GL_LINEAR
  - GL_NEAREST_MIPMAP_NEAREST
  - GL_LINEAR_MIPMAP_LINEAR
  
GL_TEXTURE_MAG_FILTER: // 放大时
  - GL_NEAREST
  - GL_LINEAR

4.3.5 Mipmap技术

Mipmap（来自拉丁语”multum in parvo”，意为”小中见大”）是Lance Williams于1983年提出的预滤波技术。

Mipmap构建：

  1. 金字塔结构：
    • Level 0：原始纹理（$n \times n$）
    • Level 1：$n/2 \times n/2$
    • Level 2：$n/4 \times n/4$
    • …
    • Level $\log_2(n)$：$1 \times 1$

  2. 内存开销： \(\text{Total} = n^2 + \frac{n^2}{4} + \frac{n^2}{16} + ... = \frac{4}{3}n^2\) 只增加33%的存储空间

  3. 生成方法：
    • 简单平均：每2×2像素平均为1个
    • 高质量滤波：使用Lanczos或Mitchell滤波器

Mipmap级别选择：

基本思想： 选择使得纹素与像素1:1对应的级别。

计算公式： \(L = \log_2\left(\max\left(\sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2} \cdot width, \sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2} \cdot height\right)\right)\)

实际实现：

三线性插值（Trilinear Interpolation）：

当$L$不是整数时，在相邻两个mipmap级别之间插值：

  1. 计算两个级别： 
    L0 = floor(L)
L1 = L0 + 1
frac = L - L0
  2. 在每个级别进行双线性插值： 
    color0 = bilinear_sample(mipmap[L0], u, v)
color1 = bilinear_sample(mipmap[L1], u, v)
  3. 级别间插值： 
    final_color = (1 - frac) * color0 + frac * color1

Mipmap的局限性：

  1. 过度模糊：各向同性假设导致斜视角模糊
  2. 方块伪影：不同级别之间的过渡可能可见
  3. 内存带宽：需要访问多个级别

各向异性过滤（Anisotropic Filtering）：

问题： Mipmap假设纹理在两个方向上均匀缩放，但实际上：

解决方案：

  1. Ripmap：各向异性mipmap，存储不同长宽比
  2. EWA滤波：椭圆加权平均
  3. 硬件AF：沿各向异性方向多次采样

各向异性级别：

4.3.6 纹理应用

纹理不仅可以存储颜色，还可以存储各种表面属性。现代渲染中常用多张纹理来定义复杂材质。

1. 漫反射贴图（Diffuse/Albedo Map）：

2. 法线贴图（Normal Map）：

切线空间法线贴图：

世界空间法线贴图：

3. 凹凸贴图（Bump Map）：

4. 位移贴图（Displacement Map）：

5. 环境贴图（Environment Map）：

立方体贴图（Cube Map）：

球面贴图（Sphere Map）：

双抛物面贴图（Dual-Paraboloid）：

6. PBR纹理组：

7. 特殊效果纹理：

本章小结

本章介绍了计算机图形学中着色的基础知识：

核心概念：

  1. 光照模型：
    • Lambertian反射：$I = I_0 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})$
    • Phong模型：$I = I_a + I_d + I_s$
    • Blinn-Phong改进：使用半角向量$\mathbf{h}$
  2. 着色频率：
    • 平面着色：每个三角形一个颜色
    • Gouraud着色：顶点计算，内部插值
    • Phong着色：像素级计算，插值法线
  3. 纹理映射：
    • UV坐标系统：$(u,v) \in [0,1]^2$
    • 采样方法：最近邻、双线性插值
    • Mipmap：解决纹理缩小问题
    • 各向异性过滤：处理非均匀缩放

关键公式：

练习题

基础题

练习4.1：Phong光照计算 给定：

计算Phong模型下的最终颜色强度。

Hint: 分别计算环境光、漫反射和镜面反射分量。

答案 1. 环境光：$I_a = k_a I_{a,light} = 0.1 \times 0.2 = 0.02$ 2. 漫反射： - $\mathbf{n} \cdot \mathbf{l} = (0,1,0) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ - $I_d = k_d I_{light} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}) = 0.7 \times 1.0 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.495$ 3. 镜面反射： - $\mathbf{r} = 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})\mathbf{n} - \mathbf{l} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,0) - \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)$ - $\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0) \cdot (0,0,1) = 0$ - $I_s = k_s I_{light} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^p = 0$ 总强度：$I = I_a + I_d + I_s = 0.02 + 0.495 + 0 = 0.515$

练习4.2：透视校正插值 三角形顶点的屏幕坐标和深度值为：

计算点$(0.5, 0.25)$处的透视校正纹理坐标。

Hint: 先计算重心坐标，然后应用透视校正公式。

答案 1. 重心坐标：$(0.5, 0.25)$对应$\alpha = 0.25$, $\beta = 0.5$, $\gamma = 0.25$ 2. 透视校正： - $\frac{1}{z} = 0.25 \times \frac{1}{2} + 0.5 \times \frac{1}{4} + 0.25 \times \frac{1}{4} = 0.125 + 0.125 + 0.0625 = 0.3125$ - $z = \frac{1}{0.3125} = 3.2$ 3. 纹理坐标： - $u = \frac{0.25 \times \frac{0}{2} + 0.5 \times \frac{1}{4} + 0.25 \times \frac{0}{4}}{0.3125} = \frac{0.125}{0.3125} = 0.4$

练习4.3：Mipmap级别计算 在屏幕空间中，纹理坐标的偏导数为：

纹理大小为$1024 \times 1024$。计算应该使用的mipmap级别。

Hint: 使用给定的mipmap级别公式。

答案 1. 计算纹理空间中的偏导数（乘以纹理大小）： - $\frac{\partial s}{\partial x} = 0.01 \times 1024 = 10.24$ - $\frac{\partial t}{\partial x} = 0.02 \times 1024 = 20.48$ - $\frac{\partial s}{\partial y} = 0.03 \times 1024 = 30.72$ - $\frac{\partial t}{\partial y} = 0.01 \times 1024 = 10.24$ 2. 计算梯度长度： - $||\nabla_x|| = \sqrt{10.24^2 + 20.48^2} = \sqrt{524.29} \approx 22.9$ - $||\nabla_y|| = \sqrt{30.72^2 + 10.24^2} = \sqrt{1048.58} \approx 32.4$ 3. Mipmap级别： - $L = \log_2(32.4) \approx 5.02$ - 使用级别5（或在5和6之间插值）

挑战题

练习4.4：半球积分 证明：对于完全漫反射的Lambertian表面，当入射光在半球上均匀分布时，反射的总能量为$\pi$倍的表面反射率。

Hint: 在半球上对$\cos\theta$进行积分。

答案 设表面反射率为$\rho$，入射辐射度为常数$L_i$。 反射的总能量： $$E = \int_{\Omega} \rho L_i \cos\theta \, d\omega$$ 在球坐标系中： $$E = \rho L_i \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, d\theta \, d\phi$$ 计算积分： $$\int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}\sin(2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2}$$ 因此： $$E = \rho L_i \times 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi \rho L_i$$ 证毕。

练习4.5：法线贴图的切线空间 给定三角形顶点：

计算切线空间的TBN矩阵。

Hint: 使用边向量和UV差值构建线性方程组。

答案 1. 计算边向量： - $\mathbf{e}_1 = P_2 - P_1 = (1,0,0)$ - $\mathbf{e}_2 = P_3 - P_1 = (0,1,1)$ - $\Delta u_1 = 1, \Delta v_1 = 0$ - $\Delta u_2 = 0, \Delta v_2 = 1$ 2. 切线和副切线满足： $$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1 \\ \mathbf{e}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Delta u_1 & \Delta v_1 \\ \Delta u_2 & \Delta v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{B} \end{bmatrix}$$ 3. 求解得： - $\mathbf{T} = (1,0,0)$ - $\mathbf{B} = (0,1,1)$ 4. 法线： - $\mathbf{N} = \mathbf{T} \times \mathbf{B} = (0,-1,1)$ - 归一化：$\mathbf{N} = \frac{1}{\sqrt{2}}(0,-1,1)$ 5. TBN矩阵： $$TBN = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

练习4.6：能量守恒约束 对于物理真实的BRDF，证明Blinn-Phong模型不满足能量守恒。提出一种归一化方案。

Hint: 考虑BRDF的半球积分应小于等于1。

答案 Blinn-Phong的镜面反射项： $$f_s = \frac{k_s}{4} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^p$$ 半球积分： $$\int_{\Omega} f_s \cos\theta_i \, d\omega_i$$ 这个积分与$p$有关，当$p$较小时可能大于1，违反能量守恒。 归一化方案： $$f_s = \frac{p + 2}{2\pi} k_s (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^p$$ 这确保了： $$\int_{\Omega} f_s \cos\theta_i \, d\omega_i \leq k_s \leq 1$$

练习4.7：各向异性纹理过滤 推导各向异性过滤中椭圆参数的计算方法，给定纹理坐标的雅可比矩阵： \(J = \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix}\)

Hint: 考虑单位圆在纹理空间中的变形。

答案 屏幕空间的单位圆映射到纹理空间形成椭圆。椭圆由$J^TJ$的特征值和特征向量决定。 1. 计算$M = J^TJ$： $$M = \begin{bmatrix} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 & \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} & \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 \end{bmatrix}$$ 2. 特征值$\lambda_1, \lambda_2$给出椭圆的长短轴： - 长轴：$a = \sqrt{\lambda_{\max}}$ - 短轴：$b = \sqrt{\lambda_{\min}}$ 3. 各向异性比：$r = \frac{a}{b} = \sqrt{\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}}$ 4. 采样数量：$n = \min(\lceil r \rceil, \text{max\_anisotropy})$

练习4.8：Phong插值的非线性效应 考虑一个球面上的三角形，其三个顶点的法线分别指向外。分析在Phong着色下，三角形内部插值法线的长度变化，并讨论对光照计算的影响。

Hint: 考虑法线插值后的长度不再为1。

答案 设三个顶点的单位法线为$\mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2, \mathbf{n}_3$。 插值法线： $$\mathbf{n} = \alpha \mathbf{n}_1 + \beta \mathbf{n}_2 + \gamma \mathbf{n}_3$$ 长度： $$||\mathbf{n}||^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2\alpha\beta(\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2) + 2\beta\gamma(\mathbf{n}_2 \cdot \mathbf{n}_3) + 2\alpha\gamma(\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_3)$$ 由于$\mathbf{n}_i \cdot \mathbf{n}_j < 1$（顶点法线不平行），且$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 < 1$（除非在顶点），所以$||\mathbf{n}|| < 1$。 影响： 1. 未归一化的法线导致光照变暗 2. 三角形中心最暗（法线最短） 3. 必须在像素着色器中重新归一化 这解释了为什么Phong着色比Gouraud着色计算量大但效果更好。

常见陷阱与错误

1. 法线方向错误

2. 未归一化的向量

3. 透视插值错误

4. Mipmap边界伪影

5. 伽马校正遗漏

6. 纹理坐标越界

最佳实践检查清单

光照计算

着色管线

纹理映射

性能优化