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第2章：系统分析基础

章节大纲

2.1 时域响应分析

2.2 稳定性判据

2.3 频域分析方法

2.4 根轨迹技术

2.5 案例：飞机姿态控制系统分析

2.6 历史人物：Harry Nyquist

2.7 前沿专题：分布参数系统的分析

2.8 本章小结

2.9 练习题

2.10 常见陷阱与错误

2.11 最佳实践检查清单

开篇段落

本章将系统介绍控制系统分析的核心方法。我们将从时域响应分析开始，深入理解系统的动态行为；通过稳定性判据确保系统的基本可用性；利用频域分析方法获得系统的频率特性洞察；最后通过根轨迹技术预测参数变化对系统性能的影响。这些分析工具构成了控制工程师的基本武器库，是设计高性能控制系统的基础。

2.1 时域响应分析

时域响应分析是理解控制系统动态行为的最直接方法。通过观察系统对典型输入信号（阶跃、斜坡、脉冲）的响应，我们可以直观地评估系统性能。

2.1.1 一阶系统响应

一阶系统是最简单但最常见的动态系统模型，其传递函数为：

\[G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}\]

其中 $K$ 为直流增益，$\tau$ 为时间常数。

对于单位阶跃输入，一阶系统的时域响应为：

\[y(t) = K(1 - e^{-t/\tau})\]

关键特性：

响应曲线示意图：
  y
  K |________________
    |            ___/
    |         __/
0.63K|-------/--------
    |     _/|
    |   _/  |
    | _/    |
    |/      τ
    +-----------------> t
    0       τ      4τ

2.1.2 二阶系统响应

二阶系统是分析复杂系统的基础，标准形式为：

\[G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}\]

其中：

根据阻尼比 $\zeta$ 的不同，系统响应特性截然不同：

  1. 过阻尼 ($\zeta > 1$)：无超调，响应缓慢
  2. 临界阻尼 ($\zeta = 1$)：最快的无超调响应
  3. 欠阻尼 ($0 < \zeta < 1$)：有振荡和超调
  4. 无阻尼 ($\zeta = 0$)：持续等幅振荡

对于欠阻尼情况，关键性能指标包括：

2.1.3 高阶系统响应

高阶系统的响应可以通过主导极点近似分析。如果系统有一对主导极点（距离虚轴最近的极点），且其他极点距离虚轴的距离是主导极点的5倍以上，则系统响应主要由主导极点决定。

考虑传递函数：

\[G(s) = \frac{K\prod_{i=1}^{m}(s+z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s+p_j)}\]

通过部分分式展开：

\[G(s) = \sum_{j=1}^{n} \frac{A_j}{s+p_j}\]

时域响应为：

\[y(t) = \sum_{j=1}^{n} A_j e^{-p_j t}\]

远离虚轴的极点对应的项衰减很快，对长期响应贡献很小。

2.1.4 性能指标与设计权衡

系统设计中常见的权衡关系：

  1. 快速性 vs 稳定性：提高响应速度通常会增加超调
  2. 鲁棒性 vs 性能：增加稳定裕度会降低响应速度
  3. 噪声抑制 vs 跟踪性能：滤除高频噪声会降低系统带宽

实际工程中的经验法则：

2.2 稳定性判据

稳定性是控制系统的首要要求。一个不稳定的系统无论其他性能指标多么优秀都是无用的。本节介绍三种主要的稳定性判据方法。

2.2.1 Routh-Hurwitz判据

Routh-Hurwitz判据是一种代数方法，无需求解特征方程就能判断系统稳定性。对于特征方程：

\[a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_1 s + a_0 = 0\]

构造Routh表：

s^n  |  a_n      a_{n-2}    a_{n-4}  ...
s^{n-1}| a_{n-1}  a_{n-3}    a_{n-5}  ...
s^{n-2}| b_1      b_2        b_3      ...
s^{n-3}| c_1      c_2        c_3      ...
...
s^0  |  *

其中：

稳定性判据：系统稳定的充要条件是Routh表第一列所有元素同号（通常为正）。

特殊情况处理：

  1. 第一列出现零：用小正数 $\epsilon$ 替代，继续计算
  2. 整行为零：构造辅助多项式，对其求导获得新行

实例分析：考虑特征方程 $s^3 + 4s^2 + 5s + K = 0$

构造Routh表：

s^3  |  1    5
s^2  |  4    K
s^1  |  (20-K)/4
s^0  |  K

稳定条件：$(20-K)/4 > 0$ 且 $K > 0$，即 $0 < K < 20$

2.2.2 Nyquist判据

Nyquist判据是频域稳定性分析的核心工具，特别适用于：

Nyquist稳定性定理：

设开环传递函数 $G(s)H(s)$ 在右半平面有 $P$ 个极点，当 $\omega$ 从 $-\infty$ 变到 $+\infty$ 时，Nyquist曲线围绕点 $(-1, j0)$ 的圈数为 $N$（顺时针为正），则闭环系统在右半平面的极点数为：

\[Z = N + P\]

系统稳定的充要条件是 $Z = 0$，即 $N = -P$。

绘制Nyquist图的关键步骤：

  1. 绘制 $\omega: 0 \to +\infty$ 的曲线
  2. 利用对称性得到 $\omega: -\infty \to 0$ 的曲线
  3. 如有虚轴上的极点，用无穷小半圆绕过

稳定裕度：

典型要求：$GM > 6dB$，$PM > 45°$

2.2.3 相对稳定性与鲁棒性

实际系统不仅要求绝对稳定，还需要足够的稳定裕度来应对：

灵敏度函数：

\[S(s) = \frac{1}{1 + G(s)H(s)}\]

补灵敏度函数：

\[T(s) = \frac{G(s)H(s)}{1 + G(s)H(s)}\]

满足：$S(s) + T(s) = 1$

性能指标：

2.2.4 时滞系统的稳定性

时滞在实际系统中普遍存在（网络控制、化工过程、生物系统）。考虑时滞系统：

\[G(s) = \frac{K e^{-\tau s}}{s+a}\]

其中 $\tau$ 为时滞。

Padé近似：

一阶Padé近似：$e^{-\tau s} \approx \frac{1 - \tau s/2}{1 + \tau s/2}$

二阶Padé近似：$e^{-\tau s} \approx \frac{1 - \tau s/2 + \tau^2 s^2/12}{1 + \tau s/2 + \tau^2 s^2/12}$

时滞裕度：系统保持稳定的最大时滞

\[\tau_{max} = \frac{PM \cdot \pi}{180 \cdot \omega_{gc}}\]

2.3 频域分析方法

频域分析提供了系统动态特性的另一种视角，特别适合分析系统的频率选择性、带宽和稳定裕度。

2.3.1 Bode图

Bode图由幅值图和相位图组成，横轴为对数频率，是工程实践中最常用的频域分析工具。

关键特性：

典型环节的Bode图特征：

  1. 比例环节 $K$：
    • 幅值：$20\log K$ dB（水平线）
    • 相位：$0°$（水平线）
  2. 积分环节 $1/s$：
    • 幅值：$-20$ dB/decade斜率
    • 相位：$-90°$（水平线）
  3. 一阶环节 $1/(1+s/\omega_c)$：
    • 幅值：转折频率 $\omega_c$ 后 $-20$ dB/decade
    • 相位：从 $0°$ 到 $-90°$，在 $\omega_c$ 处为 $-45°$
  4. 二阶环节 $\omega_n^2/(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)$：
    • 幅值：转折频率 $\omega_n$ 后 $-40$ dB/decade
    • 相位：从 $0°$ 到 $-180°$
    • 谐振峰：当 $\zeta < 0.707$ 时出现

从Bode图读取系统信息：

2.3.2 Nyquist图

Nyquist图在复平面上绘制开环频率响应 $G(j\omega)$，提供稳定性的几何判据。

关键用途：

典型系统的Nyquist轨迹：

      Im
       ^
       |
   Q2  |  Q1
       |
-------+-------> Re
       |
   Q3  |  Q4
       |

2.3.3 Nichols图

Nichols图在对数幅值-相位平面上绘制开环频率响应，结合了Bode图和Nyquist图的优点。

坐标系：

等值线：

优势：

2.3.4 频域性能指标

带宽相关指标：

关系式：

2.4 根轨迹技术

根轨迹描述了当系统参数（通常是增益）变化时，闭环极点在复平面上的轨迹。这是Walter R. Evans在1948年发明的图解法，至今仍是控制系统设计的重要工具。

2.4.1 根轨迹基本概念

考虑负反馈系统，开环传递函数为 $KG(s)H(s)$，闭环特征方程：

\[1 + KG(s)H(s) = 0\]

根轨迹方程： \(KG(s)H(s) = -1\)

幅值条件：$|KG(s)H(s)| = 1$ 相角条件：$\angle G(s)H(s) = (2k+1)\pi$，$k = 0, \pm1, \pm2, …$

2.4.2 根轨迹绘制规则

  1. 起点和终点：
    • 根轨迹始于开环极点（$K=0$）
    • 终于开环零点或无穷远（$K=\infty$）

  2. 分支数：等于开环极点数

  3. 实轴上的根轨迹：实轴上某点右侧的实极点和实零点总数为奇数

  4. 渐近线：
    • 渐近线数：$n-m$（极点数-零点数）
    • 渐近线夹角：$\theta_a = \frac{(2k+1)\pi}{n-m}$
    • 渐近线交点：$\sigma_a = \frac{\sum p_i - \sum z_j}{n-m}$

  5. 分离点和会合点：满足 $\frac{dK}{ds} = 0$

  6. 与虚轴交点：使用Routh判据或代入 $s = j\omega$

  7. 出射角和入射角：
    • 出射角（从极点）：$\theta_d = (2k+1)\pi - \sum\angle(p_i-p_j) + \sum\angle(p_i-z_k)$
    • 入射角（到零点）：$\phi_a = (2k+1)\pi + \sum\angle(z_i-p_j) - \sum\angle(z_i-z_k)$

2.4.3 根轨迹设计应用

增加零点的影响：

增加极点的影响：

设计示例：PD控制器 $K(s+z)$

2.5 案例研究：飞机姿态控制系统分析

2.5.1 系统建模

考虑飞机俯仰角控制系统。飞机的短周期俯仰动力学可以简化为：

\[\ddot{\theta} = M_\alpha \alpha + M_q \dot{\theta} + M_{\delta_e} \delta_e\]

其中：

对于某型战斗机在巡航条件下：

考虑小扰动线性化，攻角与俯仰角关系：$\alpha \approx \theta - \gamma$（$\gamma$为航迹角）

简化后的传递函数： \(G(s) = \frac{\Theta(s)}{\Delta_e(s)} = \frac{10}{s^2 + 0.5s + 1.5}\)

2.5.2 时域分析

系统特征参数：

性能预测：

这个响应显示系统虽然稳定，但超调过大，需要控制器改善性能。

2.5.3 频域分析

绘制Bode图关键点：

开环传递函数（加入单位负反馈）： \(L(s) = \frac{10}{s^2 + 0.5s + 1.5}\)

稳定裕度计算：

2.5.4 控制器设计考虑

基于分析结果，设计要求：

  1. 减小超调至 $M_p < 20\%$（需要 $\zeta > 0.45$）
  2. 加快响应速度（$t_s < 5$ s）
  3. 保持足够稳定裕度（$PM > 45°$）

可选方案：

2.5.5 参数灵敏度分析

实际飞行中，气动参数随飞行条件变化：

使用根轨迹分析参数变化影响： 当 $M_{\delta_e}$ 在 $[8, 12]$ 范围变化时，闭环极点轨迹显示系统保持稳定，但性能有所变化。这要求控制器具有鲁棒性。

2.5.6 实际工程考虑

  1. 执行器限制：
    • 升降舵偏角限制：$ \delta_e < 25°$
    • 偏转速率限制：$ \dot{\delta_e} < 60°/s$
  2. 传感器噪声：
    • 陀螺仪噪声：典型RMS = 0.01°/s
    • 需要适当滤波但不能过度延迟
  3. 结构振动：
    • 机身弹性模态（典型 10-50 Hz）
    • 控制器带宽需避开这些频率
  4. 飞行包线保护：
    • 攻角限制防止失速
    • 过载限制保护结构

2.6 历史人物：Harry Nyquist (1889-1976)

Harry Nyquist是信息论和控制理论的先驱之一。1932年，他在贝尔实验室工作期间发表了具有里程碑意义的论文《Regeneration Theory》，提出了判断反馈放大器稳定性的图形化方法，即后来的Nyquist稳定判据。

主要贡献：

  1. Nyquist稳定判据（1932）：首次将频域方法应用于稳定性分析，开创了频域控制理论

  2. Nyquist采样定理（1928）：证明了采样频率必须至少是信号最高频率的两倍，奠定了数字信号处理基础

  3. 热噪声理论（1928）：与Johnson共同发现了热噪声的物理机制

历史影响：

Nyquist的工作直接促进了：

他的方法之所以革命性，是因为：

趣事：Nyquist最初的动机是解决贝尔电话系统中的啸叫问题。他的解决方案不仅解决了实际问题，还开创了整个控制理论分支。

2.7 前沿专题：分布参数系统的分析

传统控制理论假设系统参数集中，用常微分方程（ODE）描述。但许多实际系统的参数在空间上分布，需要偏微分方程（PDE）描述，称为分布参数系统（DPS）。

2.7.1 典型分布参数系统

  1. 柔性结构：
    • 太空机械臂
    • 大型天线
    • 风力发电机叶片
  2. 热过程：
    • 半导体晶圆加热
    • 化学反应器温度控制
    • 建筑物温度调节
  3. 流体系统：
    • 管道流量控制
    • 等离子体约束
    • 交通流控制

2.7.2 数学描述

考虑一维热传导方程： \(\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + b(x)u(t)\)

边界条件：

2.7.3 分析方法

1. 模态分析法

将PDE解展开为特征函数级数： \(T(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} q_n(t)\phi_n(x)\)

得到无穷维状态空间模型，然后截断为有限维。

2. 传递函数法

对于线性DPS，可以导出传递函数： \(G(x,\xi,s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\phi_n(x)\phi_n(\xi)}{s - \lambda_n}\)

其中$\lambda_n$为特征值，$\phi_n$为特征函数。

3. 有限元/有限差分法

将空间离散化，得到高维ODE系统： \(\dot{x} = Ax + Bu\)

其中$A$是大型稀疏矩阵。

2.7.4 控制设计挑战

  1. 溢出问题：未建模的高频模态可能导致不稳定
  2. 执行器/传感器配置：位置选择影响可控性和可观性
  3. 计算复杂度：高维系统的实时控制
  4. 鲁棒性：对未建模动态的敏感性

2.7.5 现代方法

1. 边界控制 仅在边界施加控制，内部动态通过扩散传播： \(u(t) = -k\frac{\partial T}{\partial x}|_{x=0}\)

2. 后步法（Backstepping） 通过坐标变换将PDE系统转化为稳定的目标系统。

3. 基于学习的方法

2.7.6 应用案例：ITER托卡马克等离子体控制

ITER（国际热核聚变实验堆）的等离子体形状控制是典型的DPS控制问题：

2.8 本章小结

本章系统介绍了控制系统分析的核心方法：

时域分析：

稳定性判据：

频域分析：

根轨迹技术：

关键公式汇总：

  1. 二阶系统超调：$M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$
  2. 调节时间：$t_s \approx 4/(\zeta\omega_n)$
  3. 相位裕度：$PM = 180° + \angle G(j\omega_{gc})$
  4. Nyquist稳定条件：$Z = N + P = 0$
  5. 根轨迹相角条件：$\angle G(s)H(s) = (2k+1)\pi$

2.9 练习题

基础题

题2.1 一阶系统 $G(s) = \frac{10}{2s+1}$，求其对单位阶跃输入的响应，并计算达到稳态值95%所需的时间。

提示 一阶系统的时间常数 $\tau = 2$，稳态值为直流增益。
答案 时间常数 $\tau = 2$ s，直流增益 $K = 10$。 响应：$y(t) = 10(1 - e^{-t/2})$ 达到95%稳态值的时间：$t = 3\tau = 6$ s

题2.2 二阶系统具有5%的超调量和2秒的峰值时间，求系统的自然频率和阻尼比。

提示 使用超调公式和峰值时间公式建立方程组。
答案 从 $M_p = 0.05 = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ 得 $\zeta = 0.69$ 从 $t_p = 2 = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$ 得 $\omega_n = 2.18$ rad/s

题2.3 使用Routh判据判断系统 $s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5 = 0$ 的稳定性。

提示 构造Routh表，检查第一列符号变化。
答案 Routh表： ``` s^4 | 1 3 5 s^3 | 2 4 0 s^2 | 1 5 0 s^1 | -6 0 s^0 | 5 ``` 第一列有符号变化（1到-6），系统不稳定。有2个右半平面极点。

题2.4 开环传递函数 $G(s) = \frac{K}{s(s+2)(s+5)}$，绘制根轨迹的渐近线。

提示 计算渐近线角度和交点。
答案 极点：0, -2, -5；零点：无 渐近线数：3 角度：60°, 180°, 300° 交点：$\sigma_a = \frac{0+(-2)+(-5)}{3} = -2.33$

挑战题

题2.5 某控制系统的开环传递函数为 $G(s)H(s) = \frac{K(s+1)}{s^2(s+10)}$。要求闭环系统具有阻尼比 $\zeta = 0.5$ 的主导极点对，使用根轨迹方法确定增益K的值。

提示 $\zeta = 0.5$ 对应的极点位于与负实轴成60°的直线上。
答案 主导极点位于 $s = -\sigma \pm j\sigma\sqrt{3}$（60°线） 应用相角条件找到根轨迹与60°线的交点 通过幅值条件计算对应的K值 结果：$K \approx 45$，主导极点约为 $s = -1.5 \pm j2.6$

题2.6 含时滞的系统 $G(s) = \frac{e^{-0.5s}}{s+1}$ 采用比例控制 $K$。求保证闭环稳定的最大增益 $K_{max}$。

提示 使用Nyquist判据或相位裕度方法。
答案 开环传递函数：$L(s) = \frac{Ke^{-0.5s}}{s+1}$ 相位：$\phi(\omega) = -\tan^{-1}(\omega) - 0.5\omega$ 当 $\phi = -180°$ 时，求得 $\omega_c = 2.39$ rad/s 此时 $|G(j\omega_c)| = 0.387$ 因此 $K_{max} = 1/0.387 = 2.58$

题2.7 设计一个控制器使得单位负反馈系统 $G(s) = \frac{1}{s(s+1)}$ 具有相位裕度 $PM \geq 50°$ 和静态速度误差系数 $K_v \geq 10$。

提示 考虑超前补偿器或PD控制器。
答案 原系统 $K_v = 1$，需要增益 $K = 10$ $G_1(s) = \frac{10}{s(s+1)}$ 的相位裕度约为18° 需要超前补偿器提供32°相位超前 设计超前补偿器：$G_c(s) = \frac{s+2}{s+10}$ 验证：新系统满足 $PM = 51°$，$K_v = 10$

题2.8（开放题）讨论为什么实际工程中很少使用纯微分控制，以及如何在保留微分作用的同时避免其缺点。

提示 考虑噪声放大、物理不可实现性、高频增益等问题。
答案 纯微分的问题： 1. 放大高频噪声 2. 物理不可实现（需要预测未来） 3. 对阶跃输入产生冲激响应 解决方案： 1. 带低通滤波的微分：$\frac{s}{1+\tau_f s}$ 2. PID控制器中的微分项滤波 3. 使用状态观测器估计导数 4. 采用超前补偿器代替纯微分

2.10 常见陷阱与错误

1. Routh判据的特殊情况处理不当

错误：遇到第一列出现零时直接判断系统不稳定

正确做法：

2. 忽视Nyquist图的完整性

错误：只绘制 $\omega: 0 \to \infty$ 部分

正确做法：

3. 根轨迹分离点计算错误

错误：使用 $\frac{dG(s)}{ds} = 0$ 而不是 $\frac{dK}{ds} = 0$

正确做法： 从 $K = -\frac{1}{G(s)}$ 出发，求 $\frac{dK}{ds} = 0$

4. 混淆开环和闭环概念

错误：将开环极点当作系统响应的极点

正确做法：

5. 相位裕度的符号混淆

错误：计算相位裕度时使用 $PM = \angle G(j\omega_{gc}) - 180°$

正确做法： $PM = 180° + \angle G(j\omega_{gc})$（注意是加号）

6. 忽略模型适用范围

错误：对所有系统都应用线性分析方法

正确做法：

7. 数值计算精度问题

错误：高阶系统直接计算特征值

正确做法：

8. 频率单位混淆

错误：混用rad/s和Hz

正确做法：

2.11 最佳实践检查清单

系统分析前的准备

时域分析检查

频域分析检查

稳定性分析检查

根轨迹设计检查

文档和验证

工程实践考虑